第２問
辺ABの長さが1、∠Aが直角となる三角形△ABCがある。辺BC上を
点Cから点Bまで動く点Dを考え、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ をtとおく。以下の問い
に答えよ。
(１) tの動く範囲を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf CD}\cdot\overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$ が成り立つとき、tの値を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
とおくと、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|=1\end{align*}}$ ……(ア)
また、∠Aが直角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$ ……(イ)
(１)
辺BC上の点Dは実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=k\overrightarrow{\sf b}+\left(1-k \right)\overrightarrow{\sf c}\ \ \ \ \left(0\leqq k\leqq 1 \right)\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{k\overrightarrow{\sf b}+\left(1-k \right)\overrightarrow{\sf c} \right\}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k|\overrightarrow{\sf b}|^2+\left(1-k \right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k\end{align*}}$ ←(ア)、(イ)より
よって、tの取り得る値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq t\leqq 1\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf CD}\cdot\overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\left(\overrightarrow{\sf AD}-\overrightarrow{\sf c} \right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf c} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf c}-|\overrightarrow{\sf c}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left\{t\overrightarrow{\sf b}+ \left(1-t \right)\overrightarrow{\sf c}\right\}\cdot\overrightarrow{\sf c}-|\overrightarrow{\sf c}|^2=0\end{align*}}$ ←(１)よりk=t
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-2t \right)|\overrightarrow{\sf c}|^2=0\end{align*}}$ ←(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{1}{2}\ }\ \ \ \ \left(\because\ |\overrightarrow{\sf c}|\ne 0 \right)\end{align*}}$
そのまま内積計算していきましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/28(日) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2009
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