第４問
2次の列ベクトルX、Y、Zは大きさが1であり、X=$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{1}{0}\end{align*}}$ かつY≠Xとする。
ただし、一般に2次の列ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}\end{align*}}$ の大きさは $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x^2+y^2}\end{align*}}$ で定義される。
また、2次の正方行列Aが
AX=Y、 AY=Z、 AZ=X
をみたすとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) Y≠-Xを示せ。
(２) ZはZ=sX+tY （s、tは実数）の形にただ一通りに表せることを示せ。
(３) X+Y+Z=$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{0}{0}\end{align*}}$ を示せ。
(４) 行列Aを求めよ。
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【解答】
(１)
Y=-Xと仮定すると、
AX=Y=-X
Z=AY=A(-X)=-AX=-Y=X
X=AZ=AX=-X ⇔ X=O
となるので、X=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{1}{0}\end{align*}}$ に矛盾する。
よって、Y≠-Xである。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\binom{a}{b}\ \ ,\ \ Z=\binom{c}{d}\end{align*}}$
とおくと、Y、Zの大きさは1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+b^2=c^2+d^2=1\end{align*}}$ ……(#)
b=0のとき、a=±1であるが、Y≠±Xなのでb≠0となる。
Z=sX+tYとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{c}{d}=s\binom{1}{0}+t\binom{a}{b}=\binom{s+at}{bt}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf a \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\binom{s}{t}\end{align*}}$
となる。ここで、行列Bを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf a \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(*)
とおくと、Bのデターミナントは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det B=b \ne 0\end{align*}}$
なのでBの逆行列が存在する。
(*)の両辺に左からBの逆行列をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{s}{t}=\frac{1}{b}\begin{pmatrix} \sf b&\sf -a \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{c}{d}=\frac{1}{b}\binom{bc-ad}{d}\end{align*}}$
となり、Z=sX+tYを満たす実数s、tがただ1通りに決まる。
よって、題意は示された。
(３)
(２)より
AZ=A(sX+ｔY)=ｓAX+tAY
⇔ X=sY+tZ=sY+t(sX+ｔY)
⇔ (st-1)X~=-(s+t2)Y
b≠0より、YはXの実数倍のベクトルではないので、
st-1=s+t2=0 ．
これらを連立させて解くと、s=t=-1となるので、
Z=-X-Y ⇔ X+Y+Z=O
が成り立つ。
(４)
以下の複号はすべて同順とする。
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X+Y+Z=\binom{1+a+c}{b+d}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=-a-1\ \ ,\ \ d=-b\end{align*}}$ ．
これと(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2+d^2=\left(-a-1 \right)^2+\left( -b\right)^2=a^2+b^2+2a+1=2a+2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=-\left( -\frac{1}{2}\right)-1=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{1}{2} \right)^2}=\pm \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=-b=\mp \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y=\frac{1}{2}\binom{-1}{\pm\sqrt3}\ \ ,\ \ Z=\frac{1}{2}\binom{-1}{\mp\sqrt3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX=Y\ \ \Leftrightarrow\ \ A\binom{1}{0}=\frac{1}{2}\binom{-1}{\pm\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AY=Z\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}A\binom{-1}{\pm\sqrt3}=\frac{1}{2}\binom{-1}{\mp\sqrt3}\end{align*}}$
であり、これらをまとめると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\underline{\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -1 \\ \sf 0 & \sf \pm\sqrt3 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -1 \\ \sf \pm\sqrt3 & \sf \mp\sqrt3 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
下線部の行列の逆行列を両辺の右からかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\pm\frac{1}{2\sqrt3}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -1 \\ \sf \pm\sqrt3 & \sf \mp\sqrt3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \pm\sqrt3&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pm\frac{1}{2\sqrt3}\begin{pmatrix} \sf \mp\sqrt3&\sf -3 \\ \sf 3 & \sf \mp\sqrt3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf \mp\sqrt3 \\ \sf \pm\sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(４)は面倒なので、複号のまま計算していますが、
分かりにくければ別々に計算してください。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/19(金) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2009
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