第４問
曲線y=x2の点P(a，a2)における接線と点Q(b，b2)における接線が
点Rで交わるとする。ただし、a＜0＜bとする。このとき、次の問いに
答えよ。
(１) 点Rの座標および三角形PRQの面積を求めよ。
(２) 線分PRと線分QRを2辺とする平行四辺形をPRQSとする。折れ線
PSQと曲線y=x2で囲まれた図形の面積を求めよ。
(３) ∠PRQ=90°をみたしながらPとQが動くとき、(２)で求めた面積の
最小値を求めよ。
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【解答】
(１)
y'=2xより、Pにおける接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a^2=2a\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2ax-a^2\end{align*}}$ ．
同様に、Qにおける接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2bx-b^2\end{align*}}$ ．
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2ax-a^2=2bx-b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(b-a \right)x=b^2-a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{b^2-a^2}{2\left(b-a \right)}=\frac{a+b}{2}\ \ \ \left(\because\ a\ne b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2a\cdot\frac{a+b}{2}-a^2=ab\end{align*}}$
よって、2接線の交点Rの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left( \frac{a+b}{2}\ ,\ ab\right)\ }\end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RP}=\left(\frac{a+b}{2}-a\ ,\ ab-a^2 \right)=\left(\frac{b-a}{2}\ ,\ a\left(b-a \right)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RQ}=\left(\frac{a+b}{2}-b\ ,\ ab-b^2 \right)=\left(-\frac{b-a}{2}\ ,\ -b\left(b-a \right)\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PQR=\frac{1}{2}\left|\frac{b-a}{2}\cdot \left\{-b\left(b-a \right)\right\}- a\left(b-a \right)\cdot \left(-\frac{b-a}{2}\right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\bigg|-b\left(b-a \right)^2+a\left(b-a \right)^2\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left(b-a \right)^3\\ }\end{align*}}$ ←a＜bより
(２)
直線PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a^2=\frac{b^2-a^2}{b-a}\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(a+b \right)x-ab\end{align*}}$
なので、線分PQと曲線y=x2で囲まれる面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\bigg\{\left(a+b \right)x-ab-x^2\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_a^b\left(x-a \right)\left(x-b \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(b-a \right)^3\end{align*}}$ ．
また、△PQS＝△PQRなので、折れ線PSQと曲線y=x2で
囲まれた図形の面積Tは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{4}\left(b-a \right)^3+\frac{1}{6}\left(b-a \right)^3=\underline{\ \frac{5}{12}\left(b-a \right)^3\ }\end{align*}}$
(３)
PR⊥QRなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a\cdot 2b=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{4b}\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{5}{12}\left(b+\frac{1}{4b} \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq\frac{5}{12}\left(2\sqrt{b\cdot \frac{1}{4b}} \right)^3\end{align*}}$ ←b＞0より相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{12}\end{align*}}$ ．
相加・相乗平均の等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b= \frac{1}{4b}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{1}{2}\ (>0)\end{align*}}$
のときなので、Tの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ T_{min}=\frac{5}{12}\ \ \ \ \ \left(a=-\frac{1}{2}\ , \ b=\frac{1}{2} \right)\ }\end{align*}}$
(１)で使った面積の公式は大丈夫ですか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/19(金) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2009
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