2009九州大 文系数学２

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【解答】

　(１)
　　　直線ABの方程式は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-6=\frac{4-6}{3-2}\left(x-2 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-2x+10\end{align*}}$
　　　なので、Oを通りABに垂直な直線は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x\end{align*}}$
　　　である。これら2直線の交点がCなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x+10=\frac{1}{2}x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\ ,\ y=2\end{align*}}$
　　　より、Cの座標は、(4，2)である。

　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\left(2\ ,\ 6 \right)+t\left(3\ ,\ 4 \right)=\left(2s+3t\ ,\ 6s+4t \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OC}=\left(2s+3t-4\ ,\ 6s+4t-2 \right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=\left(2s+3t-4\right)^2+\left( 6s+4t-2 \right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 40s^2+60st+25t^2-40s-40t+20\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　　s=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=25t^2-10t+10=25\left(t- \frac{1}{5}\right)^2+9\end{align*}}$
　　　　t≧0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf CP}|^2_{min}=9\ \ \ \ \ \ \ \left(t= \frac{1}{5}\right)\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　　s=1 のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=25t^2+20t+20=25\left(t+\frac{2}{5}\right)^2+16\end{align*}}$
　　　　t≧0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf CP}|^2_{min}=20\ \ \ \ \ \ \ \left(t=0\right)\ }\end{align*}}$




　　これも図は省略で。