第１問
∠Aが直角の二等辺三角形ABCを考える。辺BCの中点をMとし、
線分AMを1：3に内分する点をPとする。また、点Pを通り辺BCに
平行な直線と、辺AB、ACとの交点をそれぞれQ、Rとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(１) cos∠QMRを求めよ。
(２) ∠QMRの2倍と∠QMBの大小を判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
AB=AC=4aとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=BM=CM=2\sqrt2\ a\end{align*}}$
AP：MP=1：3、BC//QRより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AQ=a\ ,\ BQ=3a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=PQ=PR=\frac{a}{\sqrt2}\ \ ,\ \ PM=\frac{3a}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QM=RM=\sqrt{\left( \frac{a}{\sqrt2}\right)^2+\left( \frac{3a}{\sqrt2}\right)^2}=\sqrt5\ a\ (>0)\end{align*}}$
よって、△QMRで余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle QMR=\frac{2\left(\sqrt5 a \right)^2-\left(\sqrt2\ a \right)^2}{2\cdot\left(\sqrt5\ a \right)^2}=\underline{\ \frac{4}{5}\ }\end{align*}}$
(２)
倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 2\angle QMR=2\cos^2\angle QMR-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot\left(\frac{4}{5} \right)^2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{25}\end{align*}}$
また、△QMBで余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle QMB=\frac{-\left(3a \right)^2+\left(\sqrt5\ a \right)^2+\left(2\sqrt2\ a \right)^2}{2\cdot \sqrt5\ a\cdot 2\sqrt2\ a}=\frac{1}{\sqrt{10}}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 2\angle QMR=\frac{7}{25}=\sqrt{\frac{49}{625}}<\sqrt{\frac{1}{10}}=\cos\angle QMB\end{align*}}$
であり、2∠QMR、∠QMBともに鋭角なので、
2∠QMR＞∠QMB
すみません。図は省略です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/19(金) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2009
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
