第3問
xy平面上の点A(1，2)を通る直線Lがx軸、y軸とそれぞれP、Qで交わる
とする．点Rを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
を満たすようにとる．ただし、Oはxy平面の原点である．このとき、直線Lの
傾きにかかわらず、点Rはある関数y=f(x)のグラフ上にある．関数f(x)を
求めよ．
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【解答】
傾きをa（≠0）とすると、直線Lは
$\scriptsize\sf{\sf y-2=a(x-1)}$
と表せる．
x軸、y軸との交点を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(1-\frac{2}{a}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ Q\left(0\ ,\ -a-2\right)" \end{align*}}$
R(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ (X\ ,\ Y)=\left(1-\frac{2}{a}+0-1\ ,\ 0-a+2-2\right)=\left(-\frac{2}{a}\ ,\ -a\right)\end{align*}}$
これらより、aを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{2}{X}\end{align*}}$
が得られる.
この式は、点R(X，Y)が曲線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2}{x}\end{align*}}$ 上にあることを表すので、
求めるf(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ f\ (x)=\frac{2}{x}\ \ }\end{align*}}$
これは簡単．絶対に外しちゃダメですね．
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/12/31(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2006
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