第4問
数列{an}と{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=119\ \ ,\ \ a_{n+1}-a_n=12n-61\ \ \ \ \left( n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{b_k}=-\frac{1}{2}n\left(n-2c+1\right)\ \ \ \ \left( n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
によって定める。ここでcは5＜c＜6を満たす定数とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 一般項an、bnを求めよ。
(2) anbn＞0となるnをすべて求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_kb_k\end{align*}}$ が最大になるnを求めよ。
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【解答】
(1)
【anについて】
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( 12k-61\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =119+\frac{12}{2}\left(n-1 \right)n-61\left(n-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 6n^2-67n+180\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
【bnについて】
n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{b_1}=-\frac{1}{2}\left(1-2c+1 \right)=c-1\ \ \Leftrightarrow\ \ b_1=\frac{1}{c-1}\end{align*}}$
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{b_n}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{b_k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{b_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}n\left(n-2c+1 \right)+\frac{1}{2}\left(n-1 \right)\left(n-2c \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =c-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_n=\frac{1}{c-n}\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_nb_n=\frac{6n^2-67n+180}{c-n}=\frac{\left(3n-20 \right)\left(2n-9 \right)}{c-n}>0\end{align*}}$ ……(*)
(ⅰ) c－n＞0 すなわち、1≦n≦5のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3n-20 \right)\left(2n-9 \right)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ n<\frac{9}{2}\ \ ,\ \ \frac{20}{3}\lt n\end{align*}}$
これを満たす自然数nの値は、n=1，2，3，4
(ⅱ) c－n＜0 すなわち、6≦nのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3n-20 \right)\left(2n-9 \right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{9}{2}\lt n<\frac{20}{3}\end{align*}}$
これを満たす自然数nの値は、n=6
以上より、anbn＞0となるnの値は、ｎ=1，2，3，4，6
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^na_kb_k\end{align*}}$ とおくと、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1\lt S_2\lt S_3\lt S_4>S_5\lt S_6>S_7>S_8>\ldots>\end{align*}}$
となるので、Snが最大になるのはn=4またはn=6のときである。
S4＜S6となるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_6-S_4=a_5b_5+a_6b_6>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{-5}{c-5}+\frac{-6}{c-6}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -5\left(c-6 \right)-6\left(c-5 \right)<0\ \ \ \ \left(\because\ 5\lt c<6 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{60}{11}\lt c\end{align*}}$
である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{60}{11}\lt c<6\end{align*}}$ のときはn=6でSnは最大
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\frac{60}{11}\end{align*}}$ のときはn=4，6でSnは最大
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\lt c<\frac{60}{11}\end{align*}}$ のときはn=4でSnは最大
(2)、(3)は、場合分けが必要なことに注意です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/07/31(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2015（医）
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