2015三重大 医学部 数学３

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【解答】

　(1)
　　　f(x)の導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{\sqrt{x}-1}\left(\sqrt{x}-1 \right)'-\left(\sqrt{x} \right)'\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(e^{\sqrt{x}-1}-1 \right)\end{align*}}$
　　　なので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　

　　　よって、f(x)≧が成り立つ。
　　　また、等号が成立するのは、x=1のときである。


　(2)
　　　求める体積をVとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi}=\int_0^1\left(e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} \right)^2dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left\{e^{2(\sqrt{x}-1)}-2\sqrt{x}\ e^{\sqrt{x}-1}+x \right\}dx\end{align*}}$
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt{x}\end{align*}}$ と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2t}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi}=\int_0^1e^{2(t-1)}\cdot 2tdt-2\int_0^1te^{t-1}\cdot 2tdt+\left[\frac{1}{2}x^2 \right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{e^2}\int_0^1te^{2t}dt-\frac{4}{e}\int_0^1t^2e^tdt+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　部分積分法を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1te^{2t}dt=\left[\frac{1}{2}te^{2t} \right]_0^1-\int_0^1\frac{1}{2}e^{2t}dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\left(\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\right)e^{2t} \right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1t^2e^tdt=\bigg[t^2e^t\bigg]_0^1-\int_0^12te^tdt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e-2\left(\bigg[te^t\bigg]_0^1-\int_0^1e^tdt \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e-2\bigg[\left(t-1\right)e^t\bigg]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e-2\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\left\{ \frac{2}{e^2}\left(\frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4}\right)-\frac{4}{e}\left(e-2 \right)+\frac{1}{2}\right\}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi\left(\frac{1}{2e^2}+\frac{8}{e}-3 \right)\ }\end{align*}}$




　　(2)の計算が面倒です。