2015三重大 医学部 数学１

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　a、b＞0、a≠1なので、対数の定義より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=a^{\log_ab}\end{align*}}$
　　　であり、両辺＞0なので、底c （≠1）の対数をとると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_cb=\log_ca^{\log_ab}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log_ab\cdot\ \log_ca\ \ \ \left(\because\ \log_pM^r=r\log_pM \right)\end{align*}}$
　　　ここで、a≠1よりlog_ca≠0なので、両辺をこれで割ると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\end{align*}}$
　　　が導かれる。


　(2)
　　　真数条件は、x+3＞0 かつ x＞0、すなわち、x＞0．
　　　(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log_2\left( x+3\right)}{\log_24}=\log_2x-1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2\left( x+3\right)^{\frac{1}{2}}=\log_2\frac{x}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x+3\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{x}{2}\end{align*}}$
　　　両辺＞0より、両辺を2乗して整理すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-4x-12=\left(x-6 \right)\left(x+2 \right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=6\ ,\ -2\end{align*}}$ ．
　　　真数条件よりx＞0なので、x=6


　(3)
　　　(2)と同様に変形すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_4\left( x+k\right)=\log_2x-1\end{align*}}$　　……(#)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4x-4k=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\pm 2\sqrt{k+1}\end{align*}}$ 　　……(*)

　　　(ⅰ) k＞0のとき
　　　　　　真数条件は、x+k＞0 かつ x＞0 すなわち、x＞0である。
　　　　　　k＞0のとき(*)は実数となり
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+2\sqrt{k+1}>2>0\end{align*}}$
　　　　　　より真数条件を満たすので、(#)は実数解をもつ。

　　　(ⅱ) －1≦k≦0のとき
　　　　　　真数条件は、x+k＞0 かつ x＞0 すなわち、x＞－kである。
　　　　　　－1≦kより(*)は実数となり
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+2\sqrt{k+1}>2>1\geqq -k\end{align*}}$
　　　　　　より真数条件を満たすので、(#)は実数解をもつ。

　　　(ⅲ) k＜－1のときは(*)が虚数になるので不適

　　　以上より、(#)が実数解を持つようなkの値の範囲は －1≦k である。




　　(1)が出来なかった人は多かったのでは（笑）
　　教科書には普通に載っている証明ですが。