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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008三重大 医学部 数学4



第4問

  以下の問いに答えよ。ただし行列やベクトルの成分はすべて実数で
  あるとする。

 (1) 0でないfに対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{s}{t}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf f& \sf 1 \end{pmatrix}\binom{a}{b}\end{align*}}$
    とおく。このとき|a|=|b|で|s|<|t|となるようなa、bが存在する
    ことを示せ。

 (2) 任意の実数x、yに対して不等式|x+y|≧|x|-|y|が成立すること
    を示せ。次に|g|≧2を満たすgに対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{u}{v}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf g \\ \sf 0& \sf 1 \end{pmatrix}\binom{s}{t}\end{align*}}$
    とおくとき、|s|<|t|ならば|u|>|v|であることを示せ。
    さらに|h|≧2を満たすhに対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{s'}{t'}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf h& \sf 1 \end{pmatrix}\binom{u}{v}\end{align*}}$
    とおくとき、|u|>|v|ならば|s'|<|t'|であることを示せ。

 (3) 2n+1個の実数f,g1,h1,……,gn,hnにおいてf≠0であり、
    すべてのi=1,…,nに対し|gi|≧2、|hi|≧2であるとする。
    このとき積
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf h_n & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf g_n \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ldots\ldots\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf h_1 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf g_1 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf f & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
    について、A≠Eを示せ。ただしEは2次単位行列を表す。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2015/07/25(土) 23:57:00|
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