2011筑波大 数学５

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【解答】

　(１)
　　　点(1，3)が行列Aによって点(10，10)に移るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{10}{10}=A\binom{1}{3}\end{align*}}$ 　　……(ⅰ)
　　　これより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{10}{10}A=A^2\binom{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( 7A-10E\right)\binom{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 7A\binom{1}{3}-10E\binom{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 7\binom{10}{10}-10\binom{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \binom{60}{40}\end{align*}}$
　　　となるので、点(10，10)は、点(60，40)に移る。


　(２)
　　　(１)の結論より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{60}{40}=A\binom{10}{10}\end{align*}}$
　　　となり、これと(ⅰ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 10 \\ \sf 3 & \sf 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 10&\sf 60 \\ \sf 10 & \sf 40 \end{pmatrix}\end{align*}}$　　……(ⅱ)

　　　行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 10 \\ \sf 3 & \sf 10 \end{pmatrix}\end{align*}}$ の逆行列を(ⅱ)の両辺に右からかけると、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 10&\sf 60 \\ \sf 10 & \sf 40 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{-20}\begin{pmatrix} \sf 10&\sf -10 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 2 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　　a＝4、　b＝2、　c＝1、　d＝3


　(３)
　　　(ⅰ) Ｌがy軸と平行でないとき
　　　　　　L：y＝px＋q とおくと、L上の点は媒介変数tを用いて
　　　　　　(t，pt＋q)と表すことができる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{t}{pt+q}=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 2 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\binom{t}{pt+q}=\binom{\left( 4+2p\right)t+2q}{\left(1+3p \right)t+3q}\end{align*}}$
　　　　　　Aによって移された点もL上にあるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+3p \right)t+3q=p\bigg\{\left( 4+2p\right)t+2q\bigg\}+q\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2p^2+p-1 \right)t+2pq-2q=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2p-1 \right)\left(p+1 \right)t+2q\left(p-1 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　これが任意のtに対して成り立つので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2p-1 \right)\left(p+1 \right)=2q\left(p-1 \right)=0\end{align*}}$ ．
　　　　　　これらを同時に満たすp、qの組は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p,q \right)=\left(\frac{1}{2}\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \left(-1\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
　　　　　　なので、Lの方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x\ \ ,\ \ y=-x\end{align*}}$


　　　(ⅱ) Ｌがy軸と平行なとき
　　　　　　L：x＝r とおくと、L上の点は媒介変数sを用いて
　　　　　　(r，s)と表すことができる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{r}{s}=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 2 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\binom{r}{s}=\binom{4r+2s}{r+3s}\end{align*}}$
　　　　　　Aによって移された点もL上にあるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4r+2s=r\ \ \Leftrightarrow\ \ 2s+3r=0\end{align*}}$ ．
　　　　　　この式は任意のsに対して成り立つわけではないので、
　　　　　　(ⅱ)の場合、(*)を満たすようなLは存在しない。

　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、(*)を満たすLの方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{1}{2}x\ \ ,\ \ y=-x\ }\end{align*}}$





　　一次変換の典型題です。