第４問
数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ \left(n+3 \right)a_{n+1}-na_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
によって定める。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=n\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)a_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$ によって定まる数列{bn}の
一般項を求めよ。
(２) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf p\left( n+1\right)\left(n+2 \right)+qn\left(n+2 \right)+rn\left(n+1 \right)=b_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
が成り立つように、定数p、q、rの値を定めよ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ をnの式で表せ。
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【解答】
(１)
与式の両辺に(n＋1)(n＋2)をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n+1 \right)\left(n+2 \right)\left(n+3 \right)a_{n+1}-n\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)a_n=\left(n+2 \right)-\left(n+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-b_n=1\end{align*}}$
となるので、数列{bn}は公差1の等差数列である。
また、初項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=1\cdot 2\cdot 3\cdot a_1=6\end{align*}}$
なので、一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=6+\left(n-1 \right)=\underline{\ n+5\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\left( n+1\right)\left(n+2 \right)+qn\left(n+2 \right)+rn\left(n+1 \right)=b_n=n+5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+q+r \right)n^2+\left(3p+2q+r-1 \right)n+2p-5=0\end{align*}}$
と変形できる。
これが任意の自然nに対して成り立つので、
両辺の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q+r=3p+2q+r-1=2p-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=\frac{5}{2}\ ,\ q=-4\ ,\ r=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
(３)
(１)、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n\frac{b_k}{k\left(k+1 \right)\left(k+2 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\frac{\frac{5}{2}\left( k+1\right)\left(k+2 \right)-4k\left(k+2 \right)+\frac{3}{2}k\left(k+1 \right)}{k\left(k+1 \right)\left(k+2 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-4\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}+\frac{3}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)-\frac{3}{2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{2}\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1} \right)-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{n\left(7n+17 \right)}{4\left( n+1\right)\left(n+2 \right)}\ }\end{align*}}$
(３)で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}4=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}\end{align*}}$
に気づきますか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/07(水) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2011
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