第2問
以下の問いに答えよ。
(1) 0以上の2数A、Bについて、相加平均 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{A+B}{2}\end{align*}}$ が相乗平均$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{AB}\end{align*}}$ 以上
であることを証明せよ。
(2) a＞0、b＞0、m＞0とする。座標平面上で点(a，b)を通り、傾きが
－mの直線の、x軸、y軸との交点をそれぞれ求めよ。
(3) (2)のふたつの交点と原点の3点を頂点とする三角形の面積の、
mを変化させたときの最小値を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{A+B}{2}\right)^2-\left(\sqrt{AB} \right)^2=\frac{A^2+2AB+B^2}{4}-AB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{A^2-2AB+B^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{A-B}{2} \right)^2\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( \frac{A+B}{2}\right)^2\geqq \left(\sqrt{AB} \right)^2\end{align*}}$
A≧0、B≧0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{A+B}{2}\geqq 0\ \ ,\ \ \sqrt{AB}\geqq 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{A+B}{2}\geqq \sqrt{AB}\end{align*}}$
が成り立つ。（等号成立は A=Bのとき）
(2)
点(a，b)を通り、傾きが－mの直線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-b=-m\left(x-a \right)\end{align*}}$ ．
この式において
y=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0-b=-m\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a+\frac{b}{m}\ \ \ \ \left(\because\ m\ne 0 \right)\end{align*}}$
x=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-b=-m\left(0-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=am+b\end{align*}}$
よって、Lのx軸、y軸との交点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(a+\frac{b}{m}\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \left(0\ ,\ am+b \right)\ }\end{align*}}$
(3)
(2)のふたつの交点と原点の3点を頂点とする三角形の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left(a+\frac{b}{m}\right)\left(am+b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(2ab+a^2m+ \frac{b^2}{m}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq \frac{1}{2}\left(2ab+2\sqrt{a^2m\cdot \frac{b^2}{m}}\right)\end{align*}}$ ←a、b、m＞0より相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2ab\ \ \ \left(\because\ a,b>0 \right)\end{align*}}$
等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2m=\frac{b^2}{m}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{b}{a}\ (>0)\end{align*}}$
よって、Sの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{min}=2ab\ }\end{align*}}$ ．
あこれもさほど難しくありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/07/09(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2009（工）
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