2015京都府立医科大 数学４

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【解答】

　(１)
　　　偶数、奇数はそれぞれ5つずつあるので、8つ数の和が偶数になるのは、
　　　偶数、奇数ともに4個ずつ選ばれるときである。よって、その確率は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_5C_4\cdot _5C_4}{_{10}C_8}=\underline{\ \frac{5}{9}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　立方体の8個の頂点に割り当てたカードの番号の偶奇には、
　　　(ア)～(シ)の12のパターンがある。


　　　　　　



　　　8つの頂点の数の偶数・奇数の個数、および
　　　面の4頂点に割り当てた数の和が
　　　偶数になる面・奇数になる面の個数
　　　をまとめたものが右表である。

　　　よって、偶数の面が3個になるのは
　　　(ウ)、(ケ)、(サ)のように、8つの頂点に
　　　偶数3個と奇数5個を割り当てる場合と、
　　　(イ)、(キ)、(ク)のように、8つの頂点に
　　　偶数5個と奇数3個を割り当てる場合である。

　　　すなわち、8つ数の和が奇数になる場合なので、
　　　求める確率は(１)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{5}{9}=\underline{\ \frac{4}{9}\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　(ア)の場合
　　　　　4頂点がすべて偶数になる面の決め方が6通り
　　　　　偶数4個、奇数4個の並べ方は、₅P₄×₅P₄通り

　　　(コ)の場合
　　　　　頂点Aの偶奇の決め方が2通り
　　　　　B、D、Eのうち、Aと偶奇を一致させる頂点の選び方が3通り
　　　　　偶数4個、奇数4個の並べ方は、₅P₄×₅P₄通り
　　　　　(A、B、D、Eの偶奇を決めれば、残りの頂点の偶奇は自動的に決まる)

　　　(シ)の場合
　　　　　頂点Aの偶奇の決め方が2通り
　　　　　偶数4個、奇数4個の並べ方は、₅P₄×₅P₄通り
　　　　　(Aの偶奇を決めれば、残りの頂点の偶奇は自動的に決まる)

　　　以上より、求める確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_5P_4\times _5P_4\times\left(6+2\times 3+2 \right)}{_{10}P_8}=\underline{\ \frac{1}{9}\ }\end{align*}}$


　(４)
　　　(カ)の場合
　　　　　自らに偶数が割り当てられ、隣り合う3つの頂点にも
　　　　　すべて偶数が割り当てられる頂点（右図の赤丸の頂点）
　　　　　をA～Hのどこに配置するかが8通り、
　　　　　偶数4個、奇数4個の並べ方は、₅P₄×₅P₄通り
　　　　　(赤丸の頂点の場所を決めれば、残りの頂点の偶奇は
　　　　　　自動的に決まる)

　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_5P_4\times _5P_4\times 8}{_{10}P_8}=\underline{\ \frac{4}{63}\ }\end{align*}}$





　　全パターンを書き上げていけばよいのですが、
　　これがなかなか大変です。
　　頑張って(２)ぐらいまで出来ればOKでしょう。