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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015京都府立医科大 数学1



第1問

  nを1以上の整数とし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)=\frac{1}{\left(2-x \right)^n}+\left(-1 \right)^{n-1}\frac{1}{\left(2+x \right)^n}\ \ \ \ \left(|x|\lt2 \right)\end{align*}}$
  とおく。これについて
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf 1}\sf=\int_0^1f_1(x)dx\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf=\int_0^1\left( 1-x\right)^{n-1}f_n(x)dx\ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
  とおく。

 (1) fn(x)の導関数fn’(x)をfn+1(x)を用いて表せ。

 (2) nが奇数のとき $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf=\frac{1}{2^{n-1}n}+\rm I_{\sf n+1}\sf\end{align*}}$ 、nが偶数のとき
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf=\rm I_{\sf n+1}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \rm I_{\sf n}\sf\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4^{k-1}\left(2k-1 \right)}=\log 3\end{align*}}$ であることを証明せよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/03(水) 01:01:00|
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