第３問
四面体OABC は次の2つの条件
(ⅰ) BC⊥OA、 AC⊥OB、 AB⊥OC
(ⅱ) 4つの面の面積がすべて等しい
を満たしている。このとき, この四面体は正四面体であることを示せ。
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【解答】
OからBCに下ろした垂線の足をHとおくと、
OH⊥BC かつ OA⊥BCより平面OAH⊥BCとなる。
よって、OH⊥BC かつ AH⊥BCとなるので、条件(ⅱ)より
．
△HOAは二等辺三角形となるので、OAの中点をMとおくと、
HM⊥OAである。
これとOA⊥BCより、平面MBC⊥OAなので、BM⊥OAであり、
MはOAの中点なので、△BOAは二等辺三角形となる。
よって、OB＝ABが成り立つ。
同様に、OC＝ACも成り立つ。
一方、平面MBC⊥OAより、BM⊥OA かつ CM⊥OAとなり、
(ⅱ)より
．
よって、△MBCは二等辺三角形となり、MH⊥BCなので、
HはBCの中点をMである。
これとOH⊥BCより△OBCは二等辺三角形なので、
OB＝OCが成り立つ。
同様に、AB＝ACも成り立つ。
これらと同様に考えると、
OB⊥ACと(ⅱ)より、
AO＝AB、 OC＝BC、 OA＝OC、 OB＝CB
OC⊥ABと(ⅱ)より
OA＝OB、 AC＝BC、 OB＝CB、 OA＝CA
が成り立つ。
以上より、
OA＝OB＝OC＝AB＝BC＝CA
が成り立つので、四面体OABCは正四面体である。
計算を使わずに図形の性質のみで解いてみました。
まぁ、試験場では普通にベクトル計算した方が確実でしょうが（笑）
文系でも同じ問題が出題されていますので、ベクトル計算により解法は
そちらに載せることにします。（6月28日アップ予定）
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-1909.html
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/06/22(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 理系 2003
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