第2問
異なるn個のものから異なるr個を取り出して並べる順列の総数
$\small\sf{\begin{align*} \sf _nP_r=n\left(n-1 \right)\left(n-2 \right)\ldots\ldots\left(n-r+1 \right)\end{align*}}$ （ただし、n≧r≧1）
に関して以下の問いに答えよ。
(1) k＞rならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf _kP_r=\frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_kP_{r+1} \right)\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r=\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(3) 次の等式がすべての自然数kに対して成り立つように、定数
A、B、Cを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$ のnの3次式で表せ。
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【解答】
(1)
k＞rのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{r+1}\left(_{k+1}P_{r+1}-_{k}P_{r+1} \right)=\frac{1}{r+1}\left\{ \frac{\left(k+1 \right)!}{\left(k-r \right)!}-\frac{k!}{\left(k-r-1 \right)!}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{r+1}\cdot\frac{k!}{\left(k-r \right)!}\left\{ \left(k+1 \right)-\left(k-r \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k!}{\left(k-r \right)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_kP_{r}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{r}P_r+_{r+1}P_r+_{r+2}P_r+\ldots\ldots+_{n+r-1}P_r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_rP_r+\frac{1}{r+1}\left(_{r+2}P_{r+1}-_{r+1}P_{r+1} \right)+\frac{1}{r+1}\left(_{r+3}P_{r+1}-_{r+3}P_{r+1} \right)+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\frac{1}{r+1}\left(_{n+r-1}P_{r+1}-_{n+r-2}P_{r+1} \right)+\frac{1}{r+1}\left(_{n+r}P_{r+1}-_{n+r-1}P_{r+1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_rP_r-\frac{_{r+1}P_{r+1}}{r+1}+\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r!-\frac{\left(r+1\right)!}{r+1}+\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{_{n+r}P_{r+1}}{r+1}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4+A\times _{k+2}P_3+B\times_{k+1}P_2+C\times_{k}P_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( k+3\right)\left( k+2\right)\left( k+1\right)k+A\left( k+2\right)\left( k+1\right)k+B\left( k+1\right)k+Ck\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(k^4+6k^3+11k^2+6k\right)+A\left( k^3+3k^2+2k\right)+B\left( k^2+k\right)+Ck\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k^4+\left(6+A\right)k^3+\left(11+3A+B\right)k^2+\left(6+2A+B+C\right)k\end{align*}}$
これが任意のkに対して成り立つので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6+A=11+3A+B=6+2A+B+C=0\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=-6\ \ ,\ \ B=7\ \ ,\ \ C=-1\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^4=_{k+3}P_4-6 _{k+2}P_3+7_{k+1}P_2-_{k}P_1\end{align*}}$
であり、これはk=1，2，3，……，nに対して成り立つので、
和を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nk^4=\sum_{k=1}^n\left(_{k+3}P_4-6 _{k+2}P_3+7_{k+1}P_2-_{k}P_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4-6\sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3+7\sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2-\sum_{k=1}^n\ _{k}P_1\end{align*}}$ ……(#)
ここで、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k}P_1=_1P_1+_2P_1+\ldots +_nP_1=\frac{_{n+1}P_2}{2}=\frac{1}{2}\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2=\frac{_{n+2}P_2}{3}=\frac{1}{3}\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3=\frac{_{n+3}P_3}{4}=\frac{1}{4}\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4=\frac{_{n+4}P_4}{5}=\frac{1}{5}\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1 \right)n\end{align*}}$
これらと(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots\ldots +n^4}{1+2+3+\ldots\ldots +n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sum_{k=1}^nk^4}{\sum_{k=1}^nk}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sum_{k=1}^n\ _{k+3}P_4-6\sum_{k=1}^n\ _{k+2}P_3+7\sum_{k=1}^n\ _{k+1}P_2-\sum_{k=1}^n\ _{k}P_1}{\frac{1}{2}n\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{5}\left(n+4\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)-\frac{3}{2}\left(n+3\right)\left(n+2\right)+\frac{14}{3}\left(n+2\right)-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{5}n^3+\frac{3}{5}n^2+\frac{1}{15}n-\frac{1}{15}\ }\end{align*}}$
(3)までは、式をいじっていれば、なんとかなりそうですが、
(4)は厳しいでしょうねぇ、計算量も多いし。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/06/10(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2015（理系）
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