2015大阪府立大 前期理系 数学１

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【解答】

　(1)
　　　0点
　　　　　△のカードを1枚、それ以外のカードを1枚引けばよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_1C_1\cdot_{n+1}C_1}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{n+1}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{2}{n+2}\ }\end{align*}}$
　　　2点
　　　　　1のカードを2枚1枚引けばよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_nC_2}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{\frac{n\left(n-1 \right)}{2}}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{n\left( n-1\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$
　　　5点
　　　　　1のカードと、4のカードを1枚ずつ引けばよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_nC_1\cdot_{1}C_1}{_{n+2}C_{n+1}}=\frac{n}{\frac{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}{2}}=\underline{\ \frac{2n}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$


　(2)
　　　(1)より、得点の期待値は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\times\frac{n\left( n-1\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}+5\times\frac{2n}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}=\underline{\ \frac{2n\left(n+4\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\ }\end{align*}}$


　(3)
　　　(2)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-a_n=\frac{2\left(n+1\right)\left(n+5\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)}-\frac{2n\left(n+4\right)}{\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(n+1\right)^2\left(n+5\right)-2n\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(-n+5\right)}{\left(n+3 \right)\left(n+2 \right)\left(n+1 \right)}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　　　・1≦n≦4のとき、a_n＜a_n+1より
　　　　　　　　　　　a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅
　　　　　・n=5のとき、a_n=a_n+1より
　　　　　　　　　　　a₅=a₆
　　　　　・6≦nのとき、a_n＞a_n+1より
　　　　　　　　　　　a₆＞a₇＞a₈＞……
　　　よって、
　　　　　　　　　a₁＜……＜a₅=a₆＞a₇＞……
　　　となるので、a_nが最大になるのは、n=5またはn=6のときである。




　　(3)は
　　　　　　「a_n+1－a_nの符号を調べることにより」
　　というヒントがあるので問題ないかと。