第1問
xyz空間の3点O(0，0，0)、A(0，0，1)、B(2，4，－1)を考える。
直線AB上の点C1、C2はそれぞれ次の条件を満たす。
直線ABを点Cが動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ はCがC1に一致するとき最小となる。
直線ABを点Cが動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ はCがC2に一致するとき最大となる。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ の値および内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC_1}\cdot\overrightarrow{\sf OC_1}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ の値および内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC_2}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) 2つの三角形△AC1Oと△AOC2は相似であることを示せ。
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【解答】
点Cは直線AB上の点なので、実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\left(1-s \right)\overrightarrow{\sf OA}+s\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-s \right)\left(0,0,1 \right)+s\left(2,4,-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2s,4s,1-2s \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf OC}-\ \overrightarrow{\sf OA}=\left(2s,4s,-2s \right)\end{align*}}$
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OC}\right|^2=\left(2s \right)^2+\left( 4s\right)^2+\left(1-2s \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =24s^2-4s+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =24\left(s-\frac{1}{12}\right)^2+\frac{5}{6}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{12}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ は最小となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf OC_1}|=\sqrt{\frac{5}{6}}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ．
また、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC_1}=\left(\frac{1}{6}\ ,\ \frac{1}{3}\ ,\ \frac{5}{6} \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC_1}=\left(\frac{1}{6}\ ,\ \frac{1}{3}\ ,\ -\frac{1}{6} \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC_1}\cdot\overrightarrow{\sf OC_1}=\frac{1}{36}+\frac{1}{9}-\frac{5}{36}=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf AC}\right|^2=\left(2s \right)^2+\left( 4s\right)^2+\left(-2s \right)^2=24s^2\end{align*}}$
より、s=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|^2}{|\overrightarrow{\sf OC}|^2}=0\end{align*}}$ ．
一方、s≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|^2}{|\overrightarrow{\sf OC}|^2}=\frac{24s^2}{24s^2-4s+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{24}{24-\frac{4}{s}+\frac{1}{s^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{24}{\left(\frac{1}{s}-2\right)^2+20}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{s}=2\end{align*}}$ すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のときに $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC}|}{|\overrightarrow{\sf OC}|}\end{align*}}$ が最大となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\overrightarrow{\sf AC_2}|}{|\overrightarrow{\sf OC_2}|}=\sqrt{\frac{24}{20}}=\underline{\ \sqrt{\frac{6}{5}}\ \ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ．
また、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC_2}=\left(1\ ,\ 2\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}=\left(0\ ,\ 0\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC_2}=0+0+0=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より、
∠AC1O=∠AOC2=90°
∠C1AO=∠OAC2
なので、△AC1Oと△AOC2は相似である。
(2)は、sで微分しても構いませんが、上のように処理できると楽です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/06/01(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2015
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