① －1　　　　② 2　　　　③ (4，11)、(5，7)　　　　④ x²－s²+s

　　⑤ －2　　　　⑥ e²　　　　



【解説】

　(1)
　　　aは虚数なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+1 \right)\left(a^2-a+1 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=a-1\end{align*}}$ ．
　　　これと、a³=－1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a^{10}}+\frac{1}{a^{9}}+\frac{p}{a^{8}}+\frac{q}{a^{7}}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left( -a^3\right)^4}{a^{10}}+\frac{\left( -a^3\right)^3}{a^{9}}+\frac{p\left( -a^3\right)^3}{a^{8}}+\frac{q\left( -a^3\right)^3}{a^{7}}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-1-pa-qa^2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-1 \right)-1-pa-q\left(a-1 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+q-1 \right)a=q-2\end{align*}}$ ．
　　　ここで、aは虚数、p、qは実数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q-1=q-2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=-1\ ,\ q=2\ }\end{align*}}$


　(2)
　　　x、y≧1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log 2=\log\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}+\log\frac{1+\frac{1}{y}}{1-\frac{1}{y}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{x+1}{x-1}+\log\frac{y+1}{y-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\frac{\left(x+1 \right)\left(y+1 \right)}{\left(x-1 \right)\left( y-1\right)}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2=\frac{\left(x+1 \right)\left(y+1 \right)}{\left(x-1 \right)\left( y-1\right)}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(x-1 \right)\left( y-1\right)=\left(x+1 \right)\left(y+1 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ xy-3x-3y+1=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x-3\right)\left(y-3 \right)=8\end{align*}}$ ．
　　　x－3、y－3は－2≦x－3≦y－3を満たす整数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-3\ ,\ y-3 \right)=\left(1\ ,\ 8 \right)\ ,\ \left(2\ ,\ 4 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x\ ,\ y \right)=\underline{\ \left(4\ ,\ 11 \right)\ ,\ \left(5\ ,\ 7 \right)\ }\end{align*}}$


　(3)
　　　R(X，Y)とおくと、Rは2点
　　　　　　P(t，t²)、　Q(t+1，(t+1)²)
　　　をs：(1－s)に内分する点なので、　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\left(1-s \right)t+s\left(t+1 \right)=s+t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\left(1-s \right)t^2+s\left(t+1 \right)^2=t^2+2st+s\end{align*}}$ ．
　　　これら2式からtを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\left(X-s \right)^2+2s\left(X-s \right)+s=X^2-s^2+s\end{align*}}$
　　　となるので、点R(X，Y)の軌跡の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=x^2-s^2+s\ }\end{align*}}$


　(4)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=x-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(2\cos x \right)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\cos \left( t+\frac{\pi}{2}\right) \right)}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(-2\sin t \right)}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\sin t \right)}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\sin t \right)}{2\sin t}\cdot\frac{2\sin t}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{2\sin t\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2\sin t \right)}{2\sin t}\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2\sin t}{t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-1\cdot 2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -2\ }\end{align*}}$ ．


　(5)
　　　Lと曲線y=logxの位置関係は
　　　右図のようになるので、これらで
　　　囲まれる部分の面積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^a\log x\ dx-\frac{1}{2}\left(a-1 \right)\log a>2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg[x\log x-x\bigg]_1^a-\frac{1}{2}\left(a-1 \right)\log a>2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\log a-a+1-\frac{1}{2}a\log a+\frac{1}{2}\log a>2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(a+1\right)\log a>a+1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log a>2\ \ \ \ \left(\because\ a>1 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a>e^2\ }\ \ \ \ \left(\because\ e>1 \right)\end{align*}}$





　　特に難しい問題もなく、例年通りといった感じです。