2015関西大 理系（2月2日） 数学３

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【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=xe^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$

　(1)
　　　f(x)の第1次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2}+x\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot\left(-x \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left( 1-x^2\right)e^{-\frac{1}{2}x^2}\ }\end{align*}}$
　　　なので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　　　極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=\underline{\ e^{-\frac{1}{2}}\ }\end{align*}}$　　　　　極小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-1)=\underline{\ -e^{-\frac{1}{2}}\ }\end{align*}}$


　(2)
　　　f(x)の第2次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-2xe^{-\frac{1}{2}x^2}+\left( 1-x^2\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot\left(-x \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ x\left( x^2-3\right)e^{-\frac{1}{2}x^2}\ }\end{align*}}$
　　　なので、f”(x)の符号は次のように変化する。

　　　　　
　　　よって、y=f(x)の変曲点の座標は、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(-\sqrt3\ ,\ -\sqrt3\ e^{- \frac{3}{2}}\right)\ \ ,\ \ \left( 0\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(\sqrt3\ ,\ \sqrt3\ e^{- \frac{3}{2}}\right)\ }\end{align*}}$


　(3)
　　　関数h(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=x^2f\ (x)=x^3e^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$
　　　とおく。

　　　・x＜0のときは常に
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)<0<3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\ \ \ \ \ \left(\because\ e^{-\frac{1}{2}x^2}>0 \right)\end{align*}}$
　　　　が成り立つ。

　　　・x≧0のとき、h(x)の第1次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=3x^2e^{-\frac{1}{2}x^2}+x^3\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot\left(-x \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^2\left(x^2-3\right)e^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$
　　　　なので、この範囲におけるh(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)\leqq h\left(\sqrt3 \right)=3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　となる。

　　　以上より、すべてのxに対して不等式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2f\ (x)\leqq 3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　 が成り立つ。


　(4)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-\frac{1}{2}x^2\end{align*}}$ と置換すると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-x\end{align*}}$ なので、

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^ax^2f\ (x)\ dx \end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^ax^3e^{-\frac{1}{2}x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{-\frac{1}{2}a^2}x\cdot\left( -2t\right)\ e^t\cdot \frac{dt}{-x}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^{-\frac{1}{2}a^2}t\ e^t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[t\ e^t\bigg]_0^{-\frac{1}{2}a^2}-2\int_0^{-\frac{1}{2}a^2}e^t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[\left(t-1\right)\ e^t\bigg]_0^{-\frac{1}{2}a^2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-2e^{-\frac{1}{2}a^2}-a^2\ e^{-\frac{1}{2}a^2}\end{align*}}$

　　　a→+∞の極限を考えるので、a＞0と考えてよい。
　　　(3)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq 　h\ (a)=a^3e^{-\frac{1}{2}a^2}\leqq 3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq 　a^2e^{-\frac{1}{2}a^2}\leqq \frac{3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}}{a}\end{align*}}$
　　　となり、はさみうちの原理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}a^2e^{-\frac{1}{2}a^2}=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{3\sqrt3\ e^{-\frac{3}{2}}}{a}=0\end{align*}}$ ．
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}e^{-\frac{1}{2}a^2}=0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^ax^2f\ (x)\ dx =\underline{\ 2\ }\end{align*}}$





　　(4)で上手く(3)を使いましょう！