第1問
数列{an}が条件
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=3\ \ ,\ \ a_{n+1}=\left(n+2 \right)a_n+n!\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
によって定められている。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_n}{\left( n+1\right)!}\end{align*}}$ とおくとき、数列{bn}の漸化式を求めよ。
(2) {an}の一般項を求めよ。
(3) 和 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n2^{k-1}a_k\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式の両辺を(n+2)！で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{\left( n+2\right)!}=\frac{\left(n+2 \right)a_n}{\left( n+2\right)!}+\frac{n!}{\left( n+2\right)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_n}{\left(n+1 \right)!}+\frac{1}{\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_{n+1}-b_n=\frac{1}{\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)の漸化式において、{bn+1－bn}は数列{bn}の階差数列に
なっているので、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_1}{\left(1+1 \right)!}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}+\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
これは、n=1のときも成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\left(n+1 \right)!\ b_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(n+1 \right)!\left( 2-\frac{1}{n+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\left(n+1 \right)!-n!\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n2^{k-1}a_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n2^{k-1}\left\{ 2\left(k+1 \right)!-k!\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left\{ 2^{k}\left(k+1 \right)!-2^{k-1}k!\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2^1\cdot2!-1\cdot 1! \right)+\left(2^2\cdot 3!-2^1\cdot 2! \right)+\ldots +\left\{ 2^{n}\left(n+1 \right)!-2^{n-1}n!\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2^{n}\left(n+1 \right)!-1\ }\end{align*}}$
(2)で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}b_n=2-\frac{1}{n+1}=\frac{2n+1}{n+1}}\end{align*}}$
とやってしまうと、(3)が解けません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/30(金) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2015（2/2）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
