第３問
袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている。次の操作を
考える。
（操作）袋から1個の玉を取り出し、それが赤玉ならば代わりに
青玉1個を袋に入れ、青玉ならば代わりに赤玉1個を袋
に入れる。袋に入っている3個の玉がすべて青玉になる
とき、硬貨を1枚もらう。
この操作を4回繰り返す。もらう硬貨の総数が1枚であると、もらう
硬貨の総数が2枚である確率を求めよ。
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【解答】
以下はすべて青玉の個数について考える。
1回の操作で、個数が0→1と変化する確率は1である。
他の場合もそれぞれ確率を求めると、
1→0…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ 1→2…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
2→1…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ 2→3…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
3→2…… 1
(硬貨が１枚のとき)
・青玉の個数が1→2→3→2→1と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{27}\end{align*}}$
・青玉の個数が1→0→1→2→3と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\cdot1\cdot\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}\end{align*}}$
・青玉の個数が1→2→1→2→3と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{8}{81}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{27}+\frac{2}{27}+\frac{8}{81}=\underline{\ \frac{26}{81}\ }\end{align*}}$
(硬貨が2枚のとき)
・青玉の個数が1→2→3→2→3と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot 1\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{2}{27}\ }\end{align*}}$
ぜんぶ書きあげていけばOKです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/19(金) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2015
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