第１問
座標平面上の2つの放物線
C1： y＝x2
C2： y＝－x2＋ax＋b
を考える。ただし、a、bは実数とする。
(１) C1とC2が異なる2点で交わるためのa、bに関する条件を
求めよ。
以下、a、bが(１)の条件を満たすとし、C1とC2で囲まれる部分の
面積が9であるとする。
(２) bをaを用いて表せ。
(３) aがすべての実数値をとって変化するとき、放物線C2の頂点が
描く軌跡を座標平面上に図示せよ。
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【解答】
(１)
C1、C2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=-x^2+ax+b\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-ax-b=0\end{align*}}$ ……(#)
となり、これが異なる2つの実数解をもてばよいので、
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\underline{\ a^2+8b>0\ }\end{align*}}$
(２)
(#)の2解をp、q （p＞q）とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=\frac{a}{2}\ \ ,\ \ pq=-\frac{b}{2}\end{align*}}$ ……(*)
C1、C2の位置関係は右図のようになるので、
これらで囲まれる部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_q^p\left\{ \left(-x^2+ax+b \right)-x^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\int_q^p\left(x-p \right)\left(x-q \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{6}\left(p-q \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{\left(p-q \right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{\left(p+q \right)^2-4pq\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{\left(\frac{a}{2} \right)^2-4\cdot\left( -\frac{b}{2}\right)\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{a^2}{4}+2b\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{3}\left(\frac{a^2}{4}+2b\right)^{\frac{3}{2}}=9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{a^2}{4}+2b\right)^{\frac{3}{2}}=27\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2}{4}+2b=27^{\frac{2}{3}}=9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=-\frac{a^2}{8}+\frac{9}{2}\ }\end{align*}}$
(３)
放物線C2の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\left(x- \frac{a}{2}\right)^2+b+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(x- \frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{8}+\frac{9}{2}\end{align*}}$ ←(２)より
と変形できるので、C2の頂点の座標を(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{a}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2X\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{a^2}{8}+\frac{9}{2}\end{align*}}$
これら2式からaを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{\left( 2X\right)^2}{8}+\frac{9}{2}=\frac{X^2}{2}+\frac{9}{2}\end{align*}}$ ．
よって、C2の頂点の軌跡は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\end{align*}}$
となり、これを図示すると、右図のようになる。
面積は6分の1公式を使いましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/19(金) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2015
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