2015九州大 理系数学３

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【解答】

　(１)
　　　平面x＝k （－1＜k＜1）上において、
　　　球のz≧0の部分および、光が当たら
　　　ない部分は右図のようになる。
　　　半球の断面（青色の半円）の中心をPとし、
　　　右図のように点A、B、Cを定める。
　　　（赤色の直線BCは球面に接する光線を表している。）

　　　点Aのy座標をa （＞0）とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle PBC=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ \angle PCB=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ \angle BPC=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PA=PC=a\ \ ,\ \ PB=2a\ \ ,\ \ BC=\sqrt3\ a\end{align*}}$
　　　となる。
　　　一方、Aは球面上の点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA^2=k^2+a^2+0=1^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\sqrt{1-k^2}\ \ (>0)\end{align*}}$　　……(#)

　　　xy平面上の直線x＝kにおいて、球の外で光が当たらない部分は
　　　線分ABなので、そのy座標の範囲は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\leqq y\leqq 2a\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \sqrt{1-k^2}\leqq y\leqq 2\sqrt{1-k^2}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　kは－1＜k＜1の値をとるので、xy平面上において、球の外で光が
　　　当たらない部分の面積をSとおくと、(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-1}^1\sqrt{1-k^2}\ dk\end{align*}}$
　　　と表される。
　　　これは、右図の半円の面積に等しいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\pi\ \cdot 1^2\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{\pi}{2}\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　平面x＝k上において、球の外かつz≧0の部分で光が当たらない
　　　部分は、上図の水色の部分であり、この面積をTとおくと、
　　　　　　　T＝△PBC－扇形PAC
　　　として求めることができるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt3-\pi\ a^2\cdot \frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(3\sqrt3-\pi \right)a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(3\sqrt3-\pi \right)\left(1-k^2 \right)\end{align*}}$　　　←(#)より

　　　kは－1＜k＜1の値をとるので、z≧0において、球の外で光が
　　　当たらない部分の体積Vは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_{-1}^1T\ dk\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(3\sqrt3-\pi \right)\int_{-1}^1\left(1-k^2 \right)dk\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(3\sqrt3-\pi \right)\left[k-\frac{k^3}{3} \right]_{-1}^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{9}\left(3\sqrt3-\pi \right)\ }\end{align*}}$




　　(１)、(２)の誘導があるので、それほど苦労しないと思います。