第１問
C1、C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする。
C1： y＝－x2＋2x ， 0≦x≦2
C2： y＝－x2－2x ， －2≦x≦0
また、aを実数とし、直線y＝a(x＋4)をLとする。
(１) 直線LとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ。
以下、aが(１)の条件を満たすとする。このとき、LとC1で囲まれた領域の
面積をS1、x軸とC2で囲まれた領域でLの下側にある部分の面積をS2と
する。
(２) S1をaを用いて表せ。
(３) S1＝S2を満たす実数aが$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt \frac{1}{5}\end{align*}}$ の範囲に存在することを示せ。
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【解答】
(１)
LとC1の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+2x=a\left(x+4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(a-2\right)x+4a=0\end{align*}}$ ……(ⅰ)
LとC1が異なる2つの共有点をもつとき、(ⅰ)は0≦x≦2の範囲に
異なる2つの実数解をもつ。
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(a-2\right)^2-4\cdot 4a=a^2-20a+4>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a<10-4\sqrt6\ ,\ 10+4\sqrt6\lt a\end{align*}}$
(ⅰ)の左辺をf(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=4a\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=4+2\left(a-2\right)+4a\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 0\end{align*}}$
また、f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x+\frac{a-2}{2}\right)^2+4a-\left(\frac{a-2}{2}\right)^2\end{align*}}$
と変形できるので、放物線y＝f(x)の軸を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq -\frac{a-2}{2}\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\leqq a\leqq 2\end{align*}}$ ．
以上のすべてを満たすようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq a<10-4\sqrt6\ }\end{align*}}$
(２)
(ⅰ)の2解をp、q （p＞q）とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-a+2\ \ ,\ \ pq=4a\end{align*}}$
となるので、、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_q^p\left\{-x^2+2x-a\left(x+1\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_q^p\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(p-q\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\left(p+q\right)^2-4pq\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\left(-a+2\right)^2-4\cdot 4a\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\left(a^2-20a+4\right)^{\frac{3}{2}}\ }\end{align*}}$
(３)
LとC2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2-2x=a\left(x+4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(a+2\right)x+4a=0\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となり、上図のように、明らかにLとC2は2つの共有点をもつ。
(ⅱ)の2解をs、t （s＞t）とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+t=-a-2\ \ ,\ \ st=4a\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_t^s\left(-x^2-2x\right)dx-\int_t^s\left\{-x^2-2x-a\left(x+1\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{-2}^0x\left(x+2\right)dx+\int_t^s\left(x-s\right)\left(x-t\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot\left(0+2\right)^3-\frac{1}{6}\left(s-t\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{3}-\frac{1}{6}\left\{\left(-a-2\right)^2-4\cdot 4a\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{3}-\frac{1}{6}\left(a^2-12a+4\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=S_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{6}\left(a^2-20a+4\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}-\frac{1}{6}\left(a^2-12a+4\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2-20a+4\right)^{\frac{3}{2}}+\left(a^2-12a+4\right)^{\frac{3}{2}}-8=0\end{align*}}$ ……(ⅲ)
(ⅲ)の左辺をh(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (0)=4^{\frac{3}{2}}+4^{\frac{3}{2}}-8=8>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left( \frac{1}{5}\right)=\left( \frac{1}{25}\right)^{\frac{3}{2}}+\left( \frac{41}{25}\right)^{\frac{3}{2}}-8=\frac{41\sqrt{41}-999}{125}<0\ \ \ \left(\because\ \sqrt{41}<7\right)\end{align*}}$
となり、h(a)は連続関数なので、中間値の定理より、
方程式h(a)＝0は0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ の範囲に実数解をもつ。
よって、S1＝S2を満たす実数aが0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ の範囲に存在する。
6分の1公式連発です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/18(木) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2015
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