2015名古屋大 理系数学４

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【解答】

　　　n回試行を繰り返した後に石がある点の数字をA_n、
　　　A_n＝k （k＝1、2、…、5）となる確率をP_n(k)と表すことにする。
　　　また、石が初め点1にある状態をn＝0と考える。

　(１)
　　　自然数nに対して
　　　・A_n＝1になるのは、2→1と移動してくるときなので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(1\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(2\right)\end{align*}}$
　　　・A_n＝2になるのは、1→2または3→2と移動してくるときなので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(2\right)=P_{n-1}\left(1\right)+\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(3\right)\end{align*}}$
　　　・A_n＝3になるのは、2→3または4→3と移動してくるときなので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(3\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(2\right)+\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(4\right)\end{align*}}$
　　　・A_n＝4になるのは、3→4または5→4と移動してくるときなので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(4\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(3\right)+P_{n-1}\left(5\right)\end{align*}}$
　　　・A_n＝5になるのは、4→5と移動してくるときなので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(5\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(4\right)\end{align*}}$

　　　これらと
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_0\left(1\right)=1\ ,\ P_0\left(2\right)=P_0\left(3\right)=P_0\left(4\right)=P_0\left(5\right)=0\end{align*}}$
　　　を用いて順に計算していくと、P_n(k)の値は下表のようになる。
　　　
　　　　　　　　　

　　　よって
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_6\left(1\right)=\frac{5}{16}\ ,\ P_6\left(2\right)=0\ ,\ P_6\left(3\right)=\frac{1}{2}\ ,\ P_6\left(4\right)=0\ ,\ P_6\left(5\right)=\frac{3}{16}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　6回の試行で5つの点すべてに印がつくためには、
　　　石が点5まで到達する必要があるので、
　　　　　　　　A₄＝5　または　A₆＝5
　　　となればよい。
　　　ここで、A₄＝A₆＝5となるのは、A₄＝5の後、5→4→5と
　　　石が移動するときなので、その確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4\left(5\right)\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}\end{align*}}$
　　　なので、求める確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4\left(5\right)+P_6\left(5\right)-\frac{1}{16}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
　　　である。


　(３)
　　　ちょうど3つの点に印がつくのは、石が点3には到達するが、
　　　点4には到達しない場合である。
　　　そのためには、A_奇数がすべて2である必要がある。
　　　　　・このとき、A_偶数はすべて1か3となる。
　　　　　・すべてのA_偶数が1となる場合は条件を満たさない

　　　Nを自然数として、
　　　A_2N＝2のとき、A_2N+2＝2となるためには、
　　　2→1→2 または2→3→2と移動すればよいので、その確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\end{align*}}$
　　　A_2N-1＝1のとき、A_2N+1＝1となるためには、
　　　1→2→1と移動すればよいので、その確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$


　　(ⅰ) nが奇数のとき
　　　　　　n＝2m－1 （mは2以上の整数）とおくと、
　　　　　　A₁＝A₃＝……＝A_2m-1＝2となる確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{4}\right)^{m-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　A₁＝A_2m-1＝2かつA₂＝A₄＝……＝A_2m-2＝1となる
　　　　　　確率は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^{m-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　なので、求める確率は、
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-1}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}}\end{align*}}$
　　　　これは、n＝1のときも成り立つ。


　　(ⅱ) nが偶数のとき
　　　　　　n＝2m （mは自然数）とおくと、
　　　　　　A₁＝A₃＝……＝A_2m-1＝2となる確率は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{4}\right)^{m-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-2}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　A₁＝A_2m-1＝2かつA₂＝A₄＝……＝A_2m＝1となる
　　　　　　確率は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^{m}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　なので、求める確率は、
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-2}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}\end{align*}}$








　　上手く条件を整理しましょう。