第２問
次の問に答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$ とするとき、整数係数の4次
多項式f(x)でf(a)＝0となるもののうち、x4の係数が1である
ものを求めよ。
(２) 8つの実数
$\small\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{13}\pm\sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
（ただし、複号±はすべての可能性にわたる）の中で、(１)で
求めたf(x)に対してf(x)＝0の解となるものをすべて求め、
それ以外のものが解でないことを示せ。
(３) (２)で求めたf(x)＝0の解の大小関係を調べ、それらを大きい
順に並べよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\sqrt{9+2\sqrt{17}}\ \ ,\ \ q=\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2=\left(9+2\sqrt{17}\right)+\left(9-2\sqrt{17}\right)=18\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\sqrt{\left(9+2\sqrt{17}\right)\left(9-2\sqrt{17}\right)}=\sqrt{13}\end{align*}}$ ．
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-\sqrt{13}=p+q\end{align*}}$
と変形できるので、両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2-2\sqrt{13}a+13=p^2+q^2+2pq=18+2\sqrt{13}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-5=2\sqrt{13}\left(1+a\right)\end{align*}}$ ．
さらに両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a^2-5\right)^2=52\left(1+a\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-10a^2+25=52\left(1+2a+a^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-62a^2-104a-27=0\end{align*}}$
となるので、求める4次式f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f(x)=x^4-62x^2-104x-27\ }\end{align*}}$
である。
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^4-62x^2-104x-27=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4-10x^2+25=52\left(1+2x+x^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x^2-5\right)^2=52\left(1+x\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-5=\pm2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-5=2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2\sqrt{13}x-2\sqrt{13}-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{13}\pm\sqrt{13-\left(-2\sqrt{13}-5\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\sqrt{18+2\sqrt{13}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\sqrt{p^2+q^2+2pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\sqrt{\left(p+q\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\left(p+q\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-5=-2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+2\sqrt{13}x+2\sqrt{13}-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\sqrt{13}\pm\sqrt{13-\left(2\sqrt{13}-5\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\sqrt{18-2\sqrt{13}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\sqrt{p^2+q^2-2pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\sqrt{\left(p-q\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\left(p-q\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)\end{align*}}$
以上より、4次方程式f(x)＝0の解は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\ \ (=a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
の4つであり、これ以外の数は解となりえない。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16<17<17.64\ \ \Leftrightarrow\ \ 4<\sqrt{17}<4.2\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0 となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}+p+q>-\sqrt{13}+p-q>\sqrt{13}-p-q>-\sqrt{13}-p+q\end{align*}}$
が成り立つ。
よって、(２)で求めた4数の大小関係は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}>-\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}>-\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
となる。
何度も $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{9+2\sqrt{17}}\ \ ,\ \ \sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$ を書くのは面倒なので、
文字で置き換えましょう！符号については細心の注意が必要です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/23(火) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2015
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