2015東京医科歯科大 数学３ (１)

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【解答】

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt t<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲では
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\cos^4t\ \ (>0)\ \ \,\ \ y=\sin^4t\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　なので、点Pは第1象限内にある。
　　　このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=-4\sin t\cos^3t\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=4\sin^3t\cos t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=-\frac{\sin^2t}{\cos^2t}=-\tan^2t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{-2\tan t}{\cos^2t}\cdot\left(-\frac{1}{4\sin t\cos^3t}\right)=\frac{1}{2\cos^6t}>0\end{align*}}$
　　　なので、この範囲における曲線Cの概形は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt t<\pi\end{align*}}$ の範囲では
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\cos^4t\ \ (<0)\ \ \,\ \ y=\sin^4t\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi \lt t<\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ の範囲では
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\cos^4t\ \ (<0)\ \ \,\ \ y=-\sin^4t\ \ (<0)\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\pi\lt t<2\pi\end{align*}}$ の範囲では
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\cos^4t\ \ (>0)\ \ \,\ \ y=-\sin^4t\ \ (<0)\end{align*}}$
　　　これらより、曲線Cの概形は右図のようになる。




　(１)
　　　F(X，Y)とおくと、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PF=PH\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X-\cos^4t\right)^2+\left(Y-\sin^4t\right)^2=\left(\frac{\left|\cos^4t+\sin^4t\right|}{\sqrt{1+1}}\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^8t+\cos^8t-2\sin^4t\cos^4t-4X\cos^4t-4Y\sin^4t+2X^2+2Y^2=0\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^4t+\cos^4t=\left(\sin^2t+\cos^2t\right)^2-2\sin^2t\cos^2t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-2\sin^2t\cos^2t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^8t+\cos^8t=\left(\sin^4t+\cos^4t\right)^2-2\sin^4t\cos^4t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-2\sin^2t\cos^2t\right)^2-2\sin^4t\cos^4t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-4\sin^2t\cos^2t+2\sin^4t\cos^4t\end{align*}}$
　　　なので、上式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-4\sin^2t\cos^2t-4X\cos^4t-4Y\sin^4t+2X^2+2Y^2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-4\sin^2t\left(1-\sin^2t\right)-4X\left(1-\sin^2t\right)^2-4Y\sin^4t+2X^2+2Y^2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4-4X-4Y\right)\sin^4t+\left(8X-4\right)\sin^2t+2X^2+2Y^2-4X+1=0\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　これが0＜t＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の任意のtに対して成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4-4X-4Y=8X-4=2X^2+2Y^2-4X+1=0\end{align*}}$
　　　であればよい。これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=Y=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、条件（＊）を満たすような点Fの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ F\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。


　(２)
　　　(１)で求めた点Fに対して、点Pが
　　　曲線C全体を動くとき、線分PFの
　　　通過する領域は、右図のようになる。

　　　線分FA₃、FA₄がCと交わる点をそれ
　　　ぞれB₁、B₂とすると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_1\left(-\frac{1}{4}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ \ ,\ \ B_2\left(\frac{1}{4}\ ,-\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$ ．


　　　この領域を右下図のように分解して面積を
　　　求める。

　　　[水色部分]
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　[緑色部分]
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot 3=\frac{3}{16}\end{align*}}$
　　　[紫色部分]
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)\cdot 2=\frac{3}{16}\end{align*}}$
　　　[ピンク色部分]
　　　　　第2象限内の部分の4倍と考え、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\cos^4t\ \ (<0)\ \ \,\ \ y=\sin^4t\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\int_{-\frac{1}{4}}^0\left(y-\frac{1}{4}\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\sin^4t\cdot 4\sin t\cos^3t\ dt-4\bigg[\frac{1}{4}x\bigg]_{-\frac{1}{4}}^0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =16\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\left(\sin^5t-\sin^7 t\right)\cos t\ dt-\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
　　　　　さらに
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\sin t\end{align*}}$
　　　　　と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}\left(s^5-s^7 \right)\ ds-\frac{1}{4}=16\left[\frac{1}{6}s^6-\frac{1}{8}s^8\right]_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}-\frac{1}{4}=\frac{5}{24}\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}+\frac{5}{24}=\underline{\ \frac{13}{12}\ }\end{align*}}$



　(３)
　　　(２)の領域のy≦0の部分をx軸について
　　　折り返すと、右図のようになるので、
　　　この図形をx軸の周りに1回転してできる
　　　立体を考える。

　　　右下図のように分解して求めると、
　　　[水色部分]
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1^2\pi\cdot 1\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　[紫色部分]
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^2\pi\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{64}\end{align*}}$
　　　[ピンク色部分]
　　　　　(２)と同様に置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\int_{-\frac{1}{4}}^0y^2dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\sin^8t\cdot 4\sin t\cos^3t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\pi\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\left(\sin^9t-\sin^{11} t\right)\cos t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\pi\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}\left(s^9-s^{11} \right)\ ds\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\pi\left[\frac{1}{10}s^{10}-\frac{1}{12}s^{12}\right]_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{19}{320}\pi\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{64}+\frac{19}{320}\pi=\underline{\ \frac{49}{120}\pi\ }\end{align*}}$



　
　　計算がイヤになります・・・・