第３問
nを4以上の整数とする。正n角形の2つの頂点を無作為に選び、
それらを通る直線をLとする。さらに、残りのn－2個の頂点から
2つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線をmとする。直線
Lとmが平行になる確率を求めよ。
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【解答】
正n角形の頂点を順にA0、A1、……、An-1とおくと、
図の対称性より、Lが点A0を通る場合のみを考えればよい。
(Ⅰ) n＝2N－1 （N：3以上の自然数）のとき
(ⅰ) Lが直線A0A2k （k＝1，2，…，N－1）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{2N-2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
直線A0A2kと平行な直線は、
A1A2k-1、A2A2k-2、……、Ak-1Ak+1のk－1本と
A2k+1A2N-2、A2k+2A2N-3、……、Ak+N-1Ak+Nの
N－k－1本、合わせてN－2本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-2}{_{n-2}C_2}=\frac{2\left(\frac{n+1}{2}-2\right)}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}=\frac{1}{n-2}\end{align*}}$
(ⅱ) Lが直線A0A2k-1 （k＝1，2，…，N－1）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{2N-2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
直線A0A2k-1と平行な直線は、
A1A2k-2、A2A2k-3、……、Ak-1Akのk－1本と
A2kA2N-2、A2k+1A2N-3、……、Ak+N-2Ak+Nの
N－k－1本、合わせてN－2本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率も、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-2}{_{n-2}C_2}=\frac{1}{n-2}\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、Lとmが平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n-2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n-2}=\underline{\ \frac{1}{n-2}\ }\end{align*}}$
(Ⅱ) n＝2N （N：2以上の自然数）のとき
(ⅲ) Lが直線A0A2k （k＝1，2，…，N－1）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{2N-1}=\frac{\frac{n}{2}-1}{n-1}=\frac{n-2}{2\left(n-1\right)}\end{align*}}$ ．
直線A0A2kと平行な直線は、
A1A2k-1、A2A2k-2、……、Ak-1Ak+1のk－1本と
A2k+1A2N-1、A2k+2A2N-2、……、Ak+N-1Ak+N+1の
N－k－1本、合わせてN－2本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-2}{_{n-2}C_2}=\frac{2\left(\frac{n}{2}-2\right)}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}=\frac{n-4}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}\end{align*}}$
(ⅳ) Lが直線A0A2k-1 （k＝1，2，…，N）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{2N-1}=\frac{\frac{n}{2}}{n-1}=\frac{n}{2\left(n-1\right)}\end{align*}}$ ．
直線A0A2k-1と平行な直線は、
A1A2k-2、A2A2k-3、……、Ak-1Akのk－1本と
A2kA2N-1、A2k+1A2N-2、……、Ak+N-1Ak+Nの
N－k本、合わせてN－1本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{_{n-2}C_2}=\frac{2\left(\frac{n}{2}-1\right)}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}=\frac{1}{n-3}\end{align*}}$
(ⅲ)、(ⅳ)より、Lとmが平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-2}{2\left(n-1\right)}\cdot\frac{n-4}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}+\frac{n}{2\left(n-1\right)}\cdot\frac{1}{n-3}=\underline{\ \frac{n-2}{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}\ }\end{align*}}$
いくら一橋とはいえ、文系でこの問題はキツイでしょうねぇ・・・
他の問題に時間を割いた方が良さそうです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/14(水) 02:03:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2015
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