第２問
座標平面上の原点をOとする。点A(a，0)、B(0，b)および点Cが
OC＝1、 AB＝BC＝CA
を満たしながら動く。
(１) s＝a2＋b2、 t＝abとする。sとtの関係を表す式を求めよ。
(２) △ABCの面積のとりうる値の範囲を求めよ。
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【解答】
(１)
点Cの座標を(X，Y)とおくと、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OC=1\ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2=1\end{align*}}$ ･･････①
であり、これを用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=BC=CA\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+b^2=\left(X-a\right)^2+Y^2=X^2+\left(Y-b\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+b^2=1-2aX+a^2=1-2bY+b^2\end{align*}}$ ･･････②
と変形できる。
(ⅰ) a≠0 かつ b≠0のとき、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{1-b^2}{2a}\ \ ,\ \ Y=\frac{1-a^2}{2b}\end{align*}}$
となり、これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1-b^2}{2a}\right)^2+\left(\frac{1-a^2}{2b}\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^6+b^6-2\left(a^4+b^4\right)+a^2+b^2=4a^2b^2\end{align*}}$ ． ……③
ここで題意より、s＝a2＋b2、 t＝abなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)^3-3a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=s^3-3st^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=s^2-2t^2\end{align*}}$ ．
これらを③に代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s^3-3st^2-2\left(s^2-2t^2\right)+s=4t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3st^2=s^3-2s^2+s\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^2=s^2-2s+1\ \ \ \ \left(\because\ s=a^2+b^2\ne 0\right)\end{align*}}$ ･･････④
(ⅱ) a＝0のとき、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b^2=1\ \ ,\ \ s=a^2+b^2=1\ \ ,\ \ t=ab=0\end{align*}}$
なので④を満たす。
(ⅲ) b＝0のときも同様に④を満たす。
(ⅰ)～(ⅲ)より、s、tの満たす条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 3t^2=s^2-2s+1\ }\end{align*}}$
である。
(２)
△ABCは正三角形なので、その面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\ AB^2\sin 60^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{4}\left(a^2+b^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{4}\ s\end{align*}}$ ･･････⑤
と表すことができる。
ここで、a2≧0、b2≧0 なので、相加・相乗平均より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+b^2\geqq 2\sqrt{a^2b^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s\geqq 2\sqrt{t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2\geqq 4t^2\end{align*}}$ ．
これと(２)よりtを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s^2\geqq \frac{4}{3}\left(s^2-2s+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2-8s+4\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4-2\sqrt3\leqq s\leqq 4+2\sqrt3\end{align*}}$ ．
これと⑤より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{4}\left(4-2\sqrt3\right)\leqq\triangle ABC\leqq\frac{\sqrt3}{4}\left(4+2\sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \sqrt3-\frac{3}{2}\leqq\triangle ABC\leqq\sqrt3+\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
テキトーに式をいじってたら出ました（笑）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/14(水) 02:02:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2015
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