第４問
xy平面上を運動する点Pの時刻t （t＞0）における座標(x，y)が
$\small\sf{\begin{align*} \sf x=t^2\cos t\ \ ,\ \ y=t^2\sin t\end{align*}}$
で表されている。原点をOとし、時刻tにおけるPの速度ベクトルを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ とする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ (t)とするとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\theta\left(t\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ がy軸に平行になるようなt （t＞0）のうち、最も小さいもの
をt1、次に小さいものをt2とする。このとき、不等式t2－t1＜$\small\sf{\pi}$
を示せ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(x,y\right)=\left(t^2\cos t\ ,\ t^2\sin t\right)\ \ \ \left(t>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=\left(\frac{dx}{dt}\ ,\ \frac{dy}{dt}\right)=\left(2t\cos t-t^2\sin t\ ,\ 2t\sin t+t^2\cos t\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|=\sqrt{\left(t^2\cos t\right)^2+\left( t^2\sin t\right)^2}=\sqrt{t^4}=t^2\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf v}\right|=\sqrt{\left(2t\cos t-t^2\sin t\right)^2+\left(2t\sin t+t^2\cos t\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{4t^2+t^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t\sqrt{t^2+4}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf v}=t^2\cos t\left(2t\cos t-t^2\sin t\right)+t^2\sin t\left(2t\sin t+t^2\cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t^3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta\left(t\right)=\frac{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf v}}{\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf v}\right|}=\frac{2t^3}{t^2\cdot t\sqrt{t^2+4}}=\frac{2}{\sqrt{t^2+4}}\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\cos\theta\left(t\right)=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{2}{\sqrt{t^2+4}}=0\end{align*}}$
であり、0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ (t)≦$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \theta\left(t\right)=\underline{\ \frac{\pi}{2}\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ がy軸と平行になるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ のx成分が0に等しいときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2t\cos t-t^2\sin t=0\end{align*}}$ ．
題意よりt＞0であり、この等式は、t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}k\end{align*}}$ （k：自然数）では
成立しないので、両辺を $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2\cos t\end{align*}}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{t}=\frac{\sin t}{\cos t}=\tan t\end{align*}}$
と変形でき、これを満たすtは2曲線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{2}{t}\ \ ,\ \ u=\tan t\end{align*}}$
の共有点のt座標となる。
これら2曲線の概形は右図のようになり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\left(t_1+\pi\right)=\tan t_1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t_2\lt t_1+\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ t_2-t_1<\pi\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)は、関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}f\ (t)=2\cos t-t\sin t\ }\end{align*}}$
の増減を調べるという手もあります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/18(日) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2015
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