第１問
数列{an}
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=5\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
で定める。また数列{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_1+2a_2+\ldots +na_n}{1+2+\ldots +n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
と定める。
(１) 数列{an}の一般項を求めよ。
(２) すべてのnに対して、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_n\leqq 3+\frac{4}{n+1}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(３) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(１)
実数tについて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{4t-9}{t-2}\ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-2t=4t-9\ \ \Leftrightarrow\ \ t=3\end{align*}}$
となることを利用すると、与えられた漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-3=\frac{4a_n-9}{a_n-2}-3=\frac{a_n-3}{a_n-2}\end{align*}}$
と変形できる。
a1≠3よりa2≠3、a2≠3よりa3≠3であり、
以下も帰納的にan≠3となるので、両辺の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a_{n+1}-3}=\frac{a_n-2}{a_n-3}=\frac{1}{a_n-3}+1\end{align*}}$
となるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{1}{a_n-3}\right\}\end{align*}}$ は等差数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a_n-3}=\frac{1}{a_1-3}+\left(n-1\right)=\frac{2n-1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n-3=\frac{2}{2n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_n=\frac{2}{2n-1}+3\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{\left(\frac{2}{1}+3\right)+2\left(\frac{2}{3}+3\right)+\ldots +n\left(\frac{2}{2n-1}+3\right)}{1+2+\ldots +n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\frac{2}{1}+\frac{4}{3}+\ldots +\frac{2n}{2n-1}\right)+3\left(1+2+\ldots +n\right)}{1+2+\ldots +n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{2}{1}+\frac{4}{3}+\ldots +\frac{2n}{2n-1}}{1+2+\ldots +n}+3\end{align*}}$ ……(#)
ここで、k=1，2，…，nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2k}{2k-1}=1+\frac{1}{2k-1}\leqq 2\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n \leqq\frac{2+2+\ldots +2}{1+2+\ldots +n}+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2n}{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{n+1}+3\end{align*}}$
(３)
(#)において、n≧1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{\frac{2}{1}+\frac{4}{3}+\ldots +\frac{2n}{2n-1}}{1+2+\ldots +n}+3\geqq 3\end{align*}}$
となり、これと(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\leqq b_n\leqq 3+\frac{4}{n+1}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n+1}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n=3\ }\end{align*}}$
(１) 分数形の漸化式の解き方は知ってますか？？
(１)さえできれば、あとは楽ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/18(日) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2015
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