2015東京大 文系数学３

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　右図のように、　
　　　　　A・・・・円C₁の中心
　　　　　B・・・・円C₂の中心
　　　　　P・・・・C₁とx軸との接点
　　　　　Q・・・・C₂とy軸との接点
　　　　　R・・・・2円の接点
　　　とおくと、円外の1点からその円に引いた
　　　接線の長さは等しいので、
　　　　　　OP=OQ=OR=1．
　　　よって、A、Bの座標は
　　　　　　　　A(1，r₁)、B(r₂，1)
　　　と表せ、
　　　　　　　　AB=AR+BR=r₁+r₂
　　　なので、　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB^2=\left(1^2+r_1^{\ 2}\right)+\left(r_2^{\ 2}+1^2\right)=\left(r_1+r_2\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_1r_2+r_1+r_2-1=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1+r_1\right)r_2=1-r_1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_2=\frac{1-r_1}{1+r_1}=-1+\frac{2}{1+r_1}\ \ \ \left(\because\ 0\lt r_1\right)\end{align*}}$ ．

　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 8r_1+9r_2=8r_1+9\left(-1+\frac{2}{1+r_1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =8\left(1+r_1\right)+\frac{18}{1+r_1}-17\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\sqrt{8\left(1+r_1\right)\cdot\frac{18}{1+r_1}}-17\end{align*}}$　　←1+r₁＞0より相加・相乗
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 2\cdot 12-17\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 7\end{align*}}$ ．
　　　よって、8r₁+9r₂の最小値は7である。

　　　これは、相加・相乗平均の等号が成立するときなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 8\left(1+r_1\right)=\frac{18}{1+r_1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1+r_1\right)^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_1=\frac{1}{2}\ \ (>0)\ \ ,\ \ r_2=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　のときであり、このときのA、Bの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(1\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ \ ,\ \ B\left(\frac{1}{3}\ ,\ 1\right)\end{align*}}$ ．

　　　よって、線分ABの傾きは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\frac{1}{2}-1}{1-\frac{1}{3}}=-\frac{3}{4}\end{align*}}$
　　　となり、原点を通る直線LはABと垂直なので、Lの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\underline{\ y=\frac{4}{3}x\ }\end{align*}}$ ．





　　OQ=1に気づきましょう！