2015東京大 文系数学１

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【解答】

　命題A
　　　xの関数f(x)を　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^3}{26}-x^2+100\ \ \ \left(x\geqq 1\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3}{26}x^2-2x=\frac{1}{26}x\left(3x-52\right)\end{align*}}$
　　　となるので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　
　　　ここで、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(17\right)=\frac{17^3}{26}-17^2+100=-\frac{1}{26}<0\end{align*}}$
　　　より、n=17のときは不等式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^3}{26}+100\geqq n^2\end{align*}}$ 成り立たないので、
　　　命題Aは偽である。


　命題B
　　　条件
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5n+5m+3L=1\end{align*}}$　　……(#)
　　　を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 10nm+3mL+3nL\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =10nm+m\left(1-5m-5n\right)+n\left(1-5m-5n\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-5m^2-5n^2+m+n\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left\{m\left(5m-1\right)+n\left(5n-1\right)\right\}\leqq 0\ \ \ \ \left(\because\ m\left(5m-1\right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt m<\frac{1}{5}\right)\end{align*}}$
　　　等号が成立するのは、m=n=0のときであるが、
　　　そのときは(#)を満たす整数Lが存在しない。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 10nm+3mL+3nL<0\end{align*}}$
　　　となるので、命題Bは真である。






　　なんかスッキリしない問題ですね。