第2問
どの目も出る確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ のさいころを1つ用意し、次のように左から
順に文字を書く。さいころを投げ、出た目が1、2、3のときは文字列
AAを書き、4のときは文字Bを、5のときは文字Cを、6のときは文字
Dを書く。さらに繰り返しさいころを投げ、同じ規則に従ってAA、B、
C、Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。たとえば、
さいころを5回投げ、その出た目が順に2、5、6、3、4であったとする
と、得られる文字列は、
A A C D A A B
となる。このとき、左から4番目の文字はD、5番目の文字はAである。
(1) nを正の整数とする。n回さいころを投げ、文字列を作るとき、
文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。
(2) nを2以上の整数とする。n回さいころを投げ、文字列を作るとき、
文字列の左からn－1番目の文字がAで、かつn番目の文字がB
となる確率を求めよ。
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【解答】
(1)
1、2、3の目が出たときに書く文字列AAの2つのAを区別して
順にA1A2と書くことにする。
左からn番目の文字がA1およびA2である確率をそれぞれ
pn、qnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ q_1=0\end{align*}}$
左からn+1番目がA1になるのは、n番目がA1以外で、
n+1回目のさいころの目が1、2、3であるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{2}\left(1-p_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
となり、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{3}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ．
一方、左からn番目（n≧2）がA2になるのは、n－1番目が
A1のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=p_{n-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\end{align*}}$ ．
この式はn=1のときもq1=0となり成り立つ。
以上より、左からn番目の文字がAになる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n=\left\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}+\left\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
(2)
文字列の左からn－1番目の文字がAで、かつn番目の文字が
Bとなるのは、n－1番目がA2で、n回目のさいころで4の目が
出るときなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\ q_{n-1}=\underline{\ \frac{1}{18}+\frac{1}{36}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-3}\ \ \ \left(n\geqq 2\right)\ }\end{align*}}$
2つのAを区別するのがポイントです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/22(木) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2015
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