2015東京大 理系数学１

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【解答】

　　　Cの方程式は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(x^2-1\right)a^2-4ya+1=0\end{align*}}$　　･･････(A)
　　　と変形できる。
　　　aについての方程式(A)を満たす正数aが存在するような
　　　x、yの条件を求める。

　　　(ⅰ) x=±1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ -4ya+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{4a}>0\ \ \left(\because\ a>0\right)\end{align*}}$

　　　(ⅱ) x＜－1または1＜xのとき
　　　　　　(A)の左辺をf(a)とすると、x²－1＞0より
　　　　　　曲線b=f(a)は下に凸な放物線となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=4\left(x^2-1\right)\left\{a-\frac{y}{2\left(x^2-1\right)}\right\}^2+1-\frac{y^2}{x^2-1}\end{align*}}$ ．
　　　　　　また、f(0)=1＞0より、(*)が正の実数解をもつため
　　　　　　には、放物線の頂点の座標を考えることにより、
　　　　　　次の2つの条件を満たせばよい。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{y}{2\left(x^2-1\right)}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ y>0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{y^2}{x^2-1}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-y^2<1\end{align*}}$

　　　(ⅲ) －1＜x＜1のとき
　　　　　　(A)の左辺をf(a)とすると、x²－1＜0より
　　　　　　曲線b=f(a)は上に凸な放物線となり、f(0)=1＞0
　　　　　　なので、(*)は必ず正の実数解をもつ。



　　　(ⅰ)～(ⅲ)を満たすようなx、yの条件を図示すると下図のようになり、
　　　これがCが通過する領域を表す。
　　　ただし、2直線x=±1のy≦0の部分は含まない。


　　　　　　　　　　　





　　これは外せない問題です。