2015札幌医科大 数学３

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【解答】

　(１)
　　　∠BAD＝∠CADより　

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BD:CD=AB:AC=c+b\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BD=\frac{c}{b+c}\ BC=\underline{\ \frac{ac}{b+c}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　∠ABI＝∠DBIより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AI:ID=BA:BD=c:\frac{ac}{b+c}=\underline{\ b+c:a\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　辺BCの中点をMとすると、点Gは△ABCの重心なので
　　　AG：GM＝2：1である。よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle BGC=\frac{1}{3}\ \triangle ABC\end{align*}}$
　　　
　　　一方、(２)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\triangle BIC\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{a+\left(b+c\right)}\ \triangle ABC\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\ \triangle ABC\ \ \ \left(\because\ a+b+c=1\right)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{T}{S}=3a\ }\end{align*}}$


　(４)
　　　a＋b＋c＝1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\lt a\lt c\ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt a\lt 1-a-b\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt a\end{align*}}$ 　……①　かつ　
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\lt 1-2a\end{align*}}$ 　……②

　　　また、a＋b＋c＝1と三角形の成立条件より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b\gt c\ \ \Leftrightarrow\ \ a+b\gt 1-a-b\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b\gt \frac{1}{2}-a\end{align*}}$　　……③

　　　①、③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}-a\lt a\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\lt a\end{align*}}$
　　　②、③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}-a\lt 1-2a\ \ \Leftrightarrow\ \ a\lt \frac{1}{2}\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\lt a\lt \frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \frac{3}{4}\lt \frac{T}{S}\lt \frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
　　　となる。





　　この問題は難しくないので落とせません！