第２問
pを0≦p≦1をみたす実数とする。1個の白玉と3個の赤玉が
入っている袋があり、この袋から1個の玉を取り出して、取り
出した玉に新たに白か赤の玉を1個加えて袋に戻す試行を行
う。ただし、この試行の際に加えられる新たな玉の色は
・確率pで取り出した玉と同じ色
・確率1－pで取り出した玉と異なる色
とする。
例えば、p＝1の場合、第1回目の試行において赤玉が取り出
されるとき、取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す。
そして、第1回目の試行が終わったときには、袋の中に1個の
白玉と4個の赤玉が入っている。第n回目の試行で白玉が取り
出される確率をqnとする。
(１) 第n回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり、かつ
この白玉がn＋1回目の試行で取り出される確率をn、p、qn
を用いて表せ。
(２) qn+1をn、p、qnを用いて表せ。ただしn＋1回目の試行におい
て、n回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で、n＋1
回目に白玉を取り出す条件付き確率がqnと等しいことを用いて
よい。
(３) rn＝qn－$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とおくとき、rn+1をn、p、rnを用いて表せ。
(４) p＝0、p＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 、p＝1のときのqnをそれぞれnを用いて表せ。
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【解答】
n回目（n＝1，2，3，…）の試行において、
取り出す玉をAn
新たに追加する玉をBn
と書くことにする。
(１)
Bnが白玉となるのは、次の2つの場合がある。
(ア) Anが白玉で、同じ色の玉を加える場合
この確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq_n\end{align*}}$
(イ) Anが赤玉で、異なる色の玉を加える場合
この確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-p\right)\left(1-q_n\right)\end{align*}}$
また、1回の試行によって玉の総数は1つずつ増えるので、
n回目の試行後には、n＋4個になっている。
よって、BnとAn+1が一致する確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n+4}\end{align*}}$
以上より、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{n+4}\bigg\{pq_n+\left(1-p\right)\left(1-q_n\right)\bigg\}\ }\end{align*}}$
(２)
An+1が白玉になるのは、次の2つの場合がある。
(ⅰ) Bnが白玉で、An+1がBnと一致する場合
この確率は、(１)で求めた確率に等しい。
(ⅱ) An+1がBnと一致せず、An+1が白玉である場合
事象S、Tを
S……An+1がBnと一致しない
T……An+1が白玉である
とおくと、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(S\cap T\right)=P\left(S\right)\cdot P_S\left(T\right)=\frac{n+3}{n+4}\ q_n\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+1}=\frac{1}{n+4}\bigg\{pq_n+\left(1-p\right)\left(1-q_n\right)\bigg\}+\frac{n+3}{n+4}\ q_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{n+4}\bigg\{\left(n+2p+2\right)q_n+1-p\bigg\}\ }\end{align*}}$
(３)
(２)で得られた漸化式に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=r_n+\frac{1}{2}\end{align*}}$
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n+1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{n+4}\bigg\{\left(n+2p+2\right)\left(r_n+\frac{1}{2}\right)+1-p\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_{n+1}=\frac{1}{n+4}\bigg\{\left(n+2p+2\right)r_n+\frac{1}{2}\left(n+2p+2\right)+1-p-\frac{1}{2}\left(n+4\right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ r_{n+1}=\frac{n+2p+2}{n+4}\ r_n\ }\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_1=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ r_1=q_1-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\end{align*}}$
【Ⅰ】 p＝0のとき、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n+1}=\frac{n+2}{n+4}\ r_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n+2}{n+4}\cdot\frac{n+1}{n+3}\ r_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n+2}{n+4}\cdot\frac{n+1}{n+3}\cdot\frac{n}{n+2}\cdot\frac{n-1}{n+1}\cdot \ldots\ \cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}\ r_{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\cdot 3}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}\ r_{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{3}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=r_n+\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{2}-\frac{3}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\ }\end{align*}}$
【Ⅱ】 p＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n+1}=\frac{n+3}{n+4}\ r_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n+3}{n+4}\cdot\frac{n+2}{n+3}\cdot\frac{n+1}{n+2}\cdot\ \ldots\ \cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{5}\ r_{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{n+4}\ r_{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{n+4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=r_n+\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{2}-\frac{1}{n+3}\ }\end{align*}}$
【Ⅲ】 p＝1のとき、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n+1}=r_n=r_{n-1}=\ldots =r_2=r_1=-\frac{1}{4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=r_n+\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
PS(T)＝qnのヒントも含めて、ちゃんと誘導に乗っていけば
最後までたどり着けるはずです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/12(金) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2015
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