2015旭川医科大 数学２ [後半]

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【解答】

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=2n\pi\ \ ,\ \ q_n=2n\pi+\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ r_n=\left(2n+1\right)\pi\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(a_n\right)=\sin a_n+a_n\cos a_n=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''\left(b_n\right)=2\cos b_n-b_n\sin b_n=0\end{align*}}$

　問１
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2n\pi
　問２
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(a_n-2n\pi\right)=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(b_n-2n\pi\right)=0\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ f\ \left(b_n\right)=2\end{align*}}$


　問３
　　　　部分積分法より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x\sin x\ dx=-x\cos x-\int\left(-\cos x\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x\cos x+\sin x+C\end{align*}}$　　（C:積分定数）
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1+S_2=\int_{p_n}^{q_n}x\sin x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-x\cos x+\sin x\bigg]_{p_n}^{q_n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi-\left(-\cos 2n\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2n\pi+1\end{align*}}$

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_3+S_4=\int_{q_n}^{r_n}x\sin x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-x\cos x+\sin x\bigg]_{q_n}^{r_n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2n+1\right)\pi\sin\left(2n+1\right)\pi-\sin\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2n+1\right)\pi-1\end{align*}}$
　　　これらより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(S_3+S_4\right)-\left(S_1+S_2\right)=\underline{\ \pi-2}\end{align*}}$


　問４
　　　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\bigg[-x\cos x+\sin x\bigg]_{p_n}^{b_n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-b_n\cos b_n+\sin b_n\right)-\left(-2n\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{b_n\cos b_n-2n\pi}{b_n-2n\pi}\cdot\left(b_n-2n\pi\right)+\sin b_n\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{b_n\cos b_n-2n\pi\cos 2n\pi}{b_n-2n\pi}\cdot\left(b_n-2n\pi\right)+\sin\left( b_n-2n\pi\right)\end{align*}}$ ．
　　　ここで、　h＝b_n－2n$\scriptsize\sf{\pi}$ とおくと、問２(２)より、
　　　n→＋∞のときh→0であり、xの関数を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=x\cos x\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '\left(x\right)=\cos x-x\sin x\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} S_1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n\cos b_n-2n\pi\cos 2n\pi}{b_n-2n\pi}\cdot\left(b_n-2n\pi\right)+\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left( b_n-2n\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(2n\pi-h\right)-g\left(2n\pi\right)}{h}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\ h+\lim_{h\rightarrow 0}\sin h\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-g\ '\left(2n\pi \right)\cdot 0-0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-1\cdot0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0\ }\end{align*}}$

　　　(２)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_3=\bigg[-x\cos x+\sin x\bigg]_{q_n}^{a_n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a_n\cos a_n+\sin a_n-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin a_n-1\ \ \ \left(\because\ f\ '(a_n)=\sin a_n+a_n\cos a_n=0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin\left(a_n-2n\pi\right)-1\end{align*}}$　　　←sinの周期性
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} S_3=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{2\sin\left(a_n-2n\pi\right)-1\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot\sin\frac{\pi}{2}-1\end{align*}}$　　　←問２(１)より
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ }\end{align*}}$

　　　(３)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(S_4-S_2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(S_3+S_4-S_1-S_2\right)-\lim_{n\rightarrow\infty} S_3+\lim_{n\rightarrow\infty} S_1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\pi -2\right)-1+0\end{align*}}$　　←問３、問４(１)(２)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi-3\ }\end{align*}}$



　　長大な解答になってしまいましたが、大丈夫でしょうか？