2015旭川医科大 数学４

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【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=1\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|=p\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|=q\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{p}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\frac{q}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\frac{pq}{2}\end{align*}}$　　　　……(#)

　問１
　　　　(#)を用いて計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AQ}=\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}+\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left(pq-p-q+2\right)\ }\end{align*}}$


　問２
　　　　Hは平面OPQ上にあるので、実数s、tを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AH}=-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
　　　　と表すことができる。
　　　　AH⊥平面OPQより、AH⊥OPかつAH⊥OQなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\left(-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}+s\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2+t\overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{p}{2}+p^2s+\frac{pq}{2}t=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2ps+qt-1=0\ \ \left(\because\ p>0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\left(-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}+s\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}+t\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{q}{2}+\frac{pq}{2}s+q^2t=0\ \ \Leftrightarrow\ \ ps+2qt-1=0\ \ \left(\because\ q>0\right)\end{align*}}$
　　　　これら2式を連立させて解くと、
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{3p}\ \ ,\ \ t=\frac{1}{3q}\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AH}\right|^2=\left|-\overrightarrow{\sf OA}+\frac{\overrightarrow{\sf OP}}{3p}+\frac{\overrightarrow{\sf OQ}}{3q}\right|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\frac{\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2}{9p^2}+\frac{\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|^2}{9q^2}-\frac{2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}}{3p}-\frac{2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}}{3q}+\frac{2\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}}{9pq}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\end{align*}}$　　←(#)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left|\overrightarrow{\sf AH}\right|=\sqrt{\frac{2}{3}}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$


　問３
　　　(１)
　　　　　 余弦定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2=p^2+1^2-2\cdot p\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ}=p^2-p+1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2=q^2-q+1\end{align*}}$
　　　　　　となるので、これとp＋q＝3より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle APQ=\frac{1}{2}\sqrt{\left(p^2-p+1\right)\left(q^2-q+1\right)-\frac{1}{4}\left(pq-p-q+2\right)^2}=1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(p^2-p+1\right)\left(q^2-q+1\right)-\left(pq-1\right)^2=16\end{align*}}$　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left\{p^2q^2-pq\left(p+q\right)+\left(p+q\right)^2-pq-\left(p+q\right)+1\right\}\end{align*}}$　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(pq-1\right)^2=16\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(p^2q^2-4pq+7\right)-\left(p^2q^2-2pq+1\right)=16\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3p^2q^2-14pq+11=\left(3pq-11\right)\left(pq-1\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ pq=\frac{11}{3}\ ,\ 1\end{align*}}$ ．
　　　　　　ここで、p、q＞0なので相加相乗平均の関係より
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p+q}{2}=\frac{3}{2}=\geqq\sqrt{pq}\ \ \Leftrightarrow\ \ pq\leqq\frac{9}{4}\end{align*}}$ ．
　　　　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ pq=1 }\end{align*}}$

　　　(２)
　　　　　 p＋q＝3、pq＝1なので、解と係数の関係より、p、qは
　　　　　 tについての二次方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-3t+1=\left(t-\frac{3+\sqrt5}{2}\right)\left(t-\frac{3-\sqrt5}{2}\right)=0\end{align*}}$
　　　　　 の2解である。題意より、p≦qなので、
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{3-\sqrt5}{2}\ }\end{align*}}$

　　　(３)
　　　　　 (１)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPQ=\frac{1}{2}pq\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{4}\end{align*}}$
　　　　　 なので、四面体OAPQの体積をVとおくと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot\triangle OPQ\cdot AH\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt2}{12}\ }\end{align*}}$




　　計算が面倒ですな。