第１問
f(p，q，r)＝p3－q3－27r3－9pqrについて、次の問いに答えよ。
問１ f(p，q，r)を因数分解せよ。
問２ 等式f(p，q，r)＝0 と p2－10q－30r＝11との両方を満たす
正の整数の組(p，q，r)をすべて求めよ。
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【解答】
問１
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(p,q,r\right)=p^3+\left(-q\right)^3+\left(-3r\right)^3-3\cdot p\cdot\left(-q\right)\cdot\left(-3r\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(p-q-3r\right)\left(p^2+q^2+9r^2+pq-3qr+3rp\right)\ }\end{align*}}$
問２
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(p,q,r\right)=\left(p-q-3r\right)\left(p^2+q^2+9r^2+pq-3qr+3rp\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p-q-3r\right)\left(2p^2+2q^2+18r^2+2pq-6qr+6rp\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p-q-3r\right)\left\{\left(p+q\right)^2+\left(q-3r\right)^2+\left(3r+p\right)^2\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3r=p-q\ \ \ \left(\because\ p,q,r>0\right)\end{align*}}$
より、rを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2-10q-10\left(p-q\right)=11\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-10p+11=\left(p-11\right)\left(p+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=11\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q+3r=11\end{align*}}$
となり、q、rは正の整数なので、題意を満たすp、q、rの組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p,q,r\right)=\underline{\ \left(11,8,1\right)\ ,\ \left(11,5,2\right)\ ,\ \left(11,2,3\right)\ }\end{align*}}$
公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\end{align*}}$
および
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}\left\{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right\}}\end{align*}}$
の変形を知らないと無理です。まぁ、医学部受験者にとっては常識ですが。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/10(水) 01:18:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2015
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