2015千葉大 数学13

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【解答】

　　　f(x)の最大値と最小値の差をdとおく。
　　　nを整数として、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=a_0+2n\pi\ \ \left(0\leqq a_0<2\pi\right)\end{align*}}$
　　　となるa₀を考え、xの関数F(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=f\ \left(x-a_0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|x-a_0+2\sin\left(x+2n\pi\right)+b\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|x+2\sin x-a_0+b\right|\ \ \ \ \left(a_0\leqq x\leqq a_0+2\pi\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、y＝F(x)のグラフはy＝f(x)のグラフをx軸方向にa₀だけ
　　　平行移動したものなので、F(x)の最大値と最小値の差もdに等しい。

　　　ここで関数h(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=x+2\sin x\end{align*}}$
　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=1+2\cos x\end{align*}}$
　　　となるので、0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ における増減は次のようになる。

　　　　　　

　　　導関数h’(x)は周期2$\scriptsize\sf{\pi}$ の周期関数であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{4}{3}\pi\right)=\frac{4}{3}\pi-\sqrt3>0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\frac{2}{3}\pi+\sqrt3< 2\pi=h\ (2\pi)\end{align*}}$
　　　なので、0≦x≦4$\scriptsize\sf{\pi}$ における曲線y＝h(x)の概形は
　　　下図のようになる。

　　　　　　　
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h (p)=h\left(\frac{2}{3}\right)\ \ ,\ \ 0\lt p <\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h (q)=h\left(\frac{4}{3}\right)\ \ ,\ \ \frac{4}{3}\pi\lt q <2\pi\end{align*}}$
　　　を満たすようなp、qを考え、$\scriptsize\sf{a_0\leqq x\leqq a_0+2\pi}$ における
　　　h(x)の最大値と最小値の差をLとおく。

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0\leqq a_0\lt p\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=h\left(a_0+2\pi\right)-h\left(a_0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{a_0+2\pi+2\sin\left(a_0+2\pi\right)\right\}-\left(a_0+2\sin a_0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\end{align*}}$



　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ p\leqq a_0<\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ のとき、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+2\pi\leqq a_0+2\pi<\frac{8}{3}\pi\end{align*}}$ なので、

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(a_0+2\pi\right)-h\left(a_0\right)\leqq h\left(a_0+2\pi\right)-h\left(\frac{4}{3}\pi\right)\lt h\left(\frac{8}{3}\pi\right)-h\left(\frac{4}{3}\pi\right)\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\pi\leqq L<\left(\frac{8}{3}\pi+\sqrt3\right)-\left(\frac{4}{3}\pi-\sqrt3\right)\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\pi\leqq L<\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$


　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \frac{2}{3}\pi\leqq a_0<\frac{4}{3}\pi\end{align*}}$ のとき、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{3}\pi\leqq a_0+2\pi<\frac{10}{3}\pi\end{align*}}$ なので、

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=h\left(\frac{8}{3}\pi\right)-h\left(\frac{4}{3}\pi\right)=\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$





　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \frac{4}{3}\pi\leqq a_0\lt q\end{align*}}$ のとき、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{3}\pi\leqq a_0+2\pi\lt q+2\pi\end{align*}}$ なので、

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(a_0+2\pi\right)-h\left(a_0\right)\leqq h\left(\frac{8}{3}\pi\right)-h\left(a_0\right)\leqq h\left(\frac{8}{3}\pi\right)-h\left(\frac{4}{3}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\pi\leqq L\leqq\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$



　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (v)\ q\leqq a_0<2\pi\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=h\left(a_0+2\pi\right)-h\left(a_0\right)=2\pi\end{align*}}$





　　　(ⅰ)～(ⅴ)いずれの場合も
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\pi\leqq L\leqq\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$　　……(#)
　　　が成り立つ。


　　　次に関数H(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H(x)=h(x)-a_0+b=x+2\sin x-a_0+b\ \ \ \left(a_0\leqq x\leqq a_0+2\pi\right)\end{align*}}$
　　　とし、H(x)の最大値をM、最小値をmとおく。
　　　y＝H(x)のグラフはy＝h(x)のグラフをy軸方向に平行移動した
　　　ものなので、最大値と最小値の差は変化せず
　　　　　　　　　　　M－m＝L
　　　が成り立つ。



　　　また、関数 F(x)＝|H(x)| の最大値と最小値の差がdなので、

　　　(Ⅰ) 0≦m＜Mのとき
　　　　　　d＝M－m＝L なので、(#)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi<2\pi\leqq d\leqq\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$

　　　(Ⅱ) m＜M≦0のとき
　　　　　　d＝(－m)－(－M)＝M－m＝L　 なので、(#)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi<2\pi\leqq d\leqq\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$

　　　(Ⅲ) 0≦－m≦Mのとき
　　　　　　d＝Mより、d≦M－m かつ M－m≦2M＝2d なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{M-m}{2}\leqq d\leqq M-m\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{L}{2}\leqq d\leqq L\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \pi\leqq d\leqq\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$　　←(#)より

　　　(Ⅳ) 0≦M＜－mのとき
　　　　　　d＝－mより、d≦M－m かつ M－m＜－2m＝2d なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{M-m}{2}\leqq d\lt M-m\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{L}{2}\lt d\leqq L\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \pi\leqq d<\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$　　←(#)より

　　　以上より、(Ⅰ)～(Ⅳ)いずれの場合も
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\leqq d\leqq\frac{4}{3}\pi+2\sqrt3\end{align*}}$　
　　　が成り立つので、題意は示された。



　　この１問だけ桁違いに難しいと思ったら、医学部用の問題でした。
　　納得です。