2015千葉大 数学11

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【解答】

　(１)
　　　①、②の導関数はそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=2x\ \ ,\ \ y\ '=\frac{1}{x}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　①上の点(s，s²＋c)における接線L₁は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y-\left(s^2+c\right)=2s\left(x-s\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2sx-s^2+c\end{align*}}$
　　　②上の点(t，logt) （t＞0）における接線L₂は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y-\log t=\frac{1}{t}\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{t}\ x+\log t-1\end{align*}}$ ．

　　　L₁とL₂が一致するとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2s=\frac{1}{t}\end{align*}}$　　……(ⅰ)　　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -s^2+c=\log t-1\end{align*}}$
　　　なので、これら2式よりsを消去すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4t^2}+c=\log t-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \log t+\frac{1}{4t^2}-1=c\end{align*}}$　　……(#)

　　　ここで、(#)の左辺をf(t)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\log t+\frac{1}{4t^2}-1\ \ \ \left(t>0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^3}=\frac{2t^2-1}{2t^3}\end{align*}}$
　　　となるので、f(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　①と②の共通接線の本数は、(#)の実数解も個数に等しく、
　　　さらに、曲線y＝f(t)と直線y＝cの共有点の個数に等しいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c<-\frac{1}{2}\left(1+\log 2\right)\end{align*}}$ のとき0本
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=-\frac{1}{2}\left(1+\log 2\right)\end{align*}}$ のとき1本
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c>-\frac{1}{2}\left(1+\log 2\right)\end{align*}}$ のとき2本


　(２)
　　　共通接線が1本であるとき、(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \ c=-\frac{1}{2}\left(1+\log 2\right)\end{align*}}$ ．
　　　よって、②上の接点の座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{\sqrt2}\ ,\ \log\frac{1}{\sqrt2}\right)=\underline{\ \left(\frac{1}{\sqrt2}\ ,\ -\frac{1}{2}\log2\right) }\end{align*}}$ ．
　　　また、(ⅰ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{2t}=\frac{1}{\sqrt2}=t\end{align*}}$
　　　なので、①上の接点の座標も $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{1}{\sqrt2}\ ,\ -\frac{1}{2}\log2\right)}\end{align*}}$ である。


　(３)
　　　①のx切片のうち正のものをpとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=p^2+c\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\sqrt{-c}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\log2\right)}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　であり、①と②の位置関係は下図のようになる。

　　　　　　　　　　　

　　　①、②、x軸で囲まれた図形の面積をSとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^1\left(-\log x\right)dx-\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^p\left\{-\left(x^2+c\right)\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\bigg[x\log x-x\bigg]_{\frac{1}{\sqrt2}}^1+\left[\frac{x^3}{3}+cx\right]_{\frac{1}{\sqrt2}}^p\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\left(\frac{1}{\sqrt2}\log\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}\right)+\frac{p^3}{3}+cp-\left(\frac{1}{6\sqrt2}+\frac{c}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{1}{2\sqrt2}\log 2-\frac{7}{6\sqrt2}+\frac{p^3}{3}-p^3+\frac{1}{2\sqrt2}\left(1+\log 2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{\sqrt2}{3}-\frac{2p^3}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1-\frac{\sqrt2}{3}-\frac{\sqrt2}{6}\sqrt{\left(1+\log 2\right)^3}\ }\end{align*}}$



　　　(１)の極限
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{t\rightarrow +0}\ f\ (t)=\lim_{t\rightarrow +0}\left(\log t+\frac{1}{4t^2}-1\right)=+\infty}\end{align*}}$
　　　をまともに求めようとすると、かなり面倒なことになるので、
　　　増減表の中にこっそり忍ばせておきました（笑）