2015千葉大 数学９

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【解答】

　(１)
　　　点P_n(a_n，a_n)を通り、②に垂直な直線は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a_n=-\left(x-a_n\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+2a_n\end{align*}}$
　　　であり、これと①の共有点がQ_nなので、
　　　2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(-x+2a_n\right)^2=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a_nx-4a_n^{\ 2}-1=0\end{align*}}$ ．
　　　この式はa_n＝0のとき成立しないので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=a_n+\frac{1}{4a_n}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\left(a_n+\frac{1}{4a_n}\right)+2a_n=a_n-\frac{1}{4a_n}\end{align*}}$．
　　　よって、点Q_nの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q_n\left(a_n+\frac{1}{4a_n}\ ,\ a_n-\frac{1}{4a_n}\right)\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　Q_nにおける①の接線は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a_n+\frac{1}{4a_n}\right)x-\left(a_n-\frac{1}{4a_n}\right)y=1\end{align*}}$
　　　であり、これと②の交点がP_n-1(a_n-1，a_n-1)なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a_n+\frac{1}{4a_n}\right)a_{n-1}-\left(a_n-\frac{1}{4a_n}\right)a_{n-1}=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_{n-1}}{2a_n}=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\frac{1}{2}\ a_{n-1}\end{align*}}$　　……(ⅰ)
　　　これより、数列{a_n}は等比数列をなすので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^na_0\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　(１)、(２)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_nP_{n-1}}=\left(a_{n-1}-a_n\ ,\ a_{n-1}-a_n\right)=\left(a_n\ ,\ a_n\right)\end{align*}}$　　←(ⅰ)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_nQ_{n}}=\left(\left(a_n+\frac{1}{4a_n}\right)-a_n\ ,\ \left(a_n-\frac{1}{4a_n}\right)-a_n\right)=\left(\frac{1}{4a_n}\ ,\ -\frac{1}{4a_n}\right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle P_nQ_nP_{n-1}=\frac{1}{2}\left|a_n\cdot\frac{1}{4a_n}-a_n\cdot\left(-\frac{1}{4a_n}\right)\right|=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$




　　よくあるパターンの問題です。