2015千葉大 数学2

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【解答】

　(１)
　　　xyz座標空間内において
　　　　　　F(0，0，0)、G(4，0，0)
　　　　　　C(0，4，0)、B(0，0，4)
　　　となるように立方体を配置すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf FP}=\left(0,3,4\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf FQ}=\left(a,0,4\right)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf FP}\right|=\sqrt{3^3+4^2}=5\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf FQ}\right|=\sqrt{a^2+16}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf FP}\cdot\overrightarrow{\sf FQ}=16\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle FPQ=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf FP}\right|^2\left|\overrightarrow{\sf FQ}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf FP}\cdot\overrightarrow{\sf FQ}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{25\left(a^2+16\right)-16}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{25a^2+144}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　四面体BFPQの体積をVとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot \triangle FPQ \cdot BK\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\cdot 3\cdot a\cdot 4\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{25a^2+144}\cdot BK\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ BK=\underline{\ \frac{12a}{\sqrt{25a^2+144}} \ }\end{align*}}$


　(３)
　　　(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt{30a}}{5}\right)^2-BK^2=\frac{6a}{5}-\frac{144a^2}{25a^2+144}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\cdot\frac{25a^3+144a-120a^2}{5\left(25a^2+144\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{6a\left(5a-12\right)^2}{5\left(25a^2+144\right)}\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{\sqrt{30a}}{5}\right)^2\geqq BK^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sqrt{30a}}{5}\geqq BK\ (\geqq 0)\end{align*}}$
　　　となるので、題意は示された。





　　(１)は、余弦定理を用いて図形的に処理することも出来ます。