2015千葉大 数学１

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【解答】

　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left|x^2-6x-\left|x-6\right|\right|+x\end{align*}}$
　　　とおく。

　　(ⅰ) 6≦xのとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left|x^2-6x-\left(x-6\right)\right|+x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|x^2-7x+6\right|+x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\left(x-6\right)\left(x-1\right)\right|+x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x-6\right)\left(x-1\right)+x\ \ \ \ \left(\because\ 6\leqq x\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2-6x+6\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x-3\right)^2-3\end{align*}}$


　　(ⅱ) x＜6のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left|x^2-6x+\left(x-6\right)\right|+x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|x^2-5x-6\right|+x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\left(x-6\right)\left(x+1\right)\right|+x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{ \begin{array}{ll}\sf -\left(x-6\right)\left(x+1\right)+x & (\sf -1\lt x<6) \\ \sf \left(x-6\right)\left(x+1\right)+x& (\sf x\leqq -1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{ \begin{array}{ll}\sf -x^2+6x+6 & (\sf -1\lt x<6) \\ \sf x^2-4x-6& (\sf x\leqq -1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{ \begin{array}{ll}\sf -\left(x-3\right)^2+15 & (\sf -1\lt x<6) \\ \sf \left(x-2\right)^2-10& (\sf x\leqq -1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$

　　　これらより、曲線y＝f(x)の概形は右図のようになる。
　　　方程式f(x)＝aの実数解の個数は、曲線y＝f(x)と直線
　　　y＝aの共有点の個数に等しいので、
　　　　　　　　a＜－1のとき、0個
　　　　　　　　a＝－1のとき、1個
　　　　　　　　－1＜a＜6、 15＜aのとき、2個
　　　　　　　　a＝6、15のとき、3個
　　　　　　　　6＜a＜15のとき、4個




　　丁寧に絶対値を場合分けしていきましょう。