2015筑波大 数学７

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【解答】

　(１)
　　　Aが表す一次変換は、2点(a，1)、(b，1)をそれぞれ
　　　点(a²，a)、(b²，b)に移すので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{a}{1}=\binom{a^2}{a}\ \ ,\ \ A\binom{b}{1}=\binom{b^2}{b}\end{align*}}$
　　　となり、これらより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 1 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a^2&\sf b^2 \\ \sf a & \sf b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 1 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AQ=Q\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、題意は示された。


　(２)
　　　(１)の行列Qのデターミナントは
　　　　　　　　　　　detQ＝a－b≠0　　（∵　a≠b）
　　　なので、Qの逆行列Q^-1が存在する。
　　　(１)の等式の両辺に右からQ^-1をかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=Q\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}Q^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf a&\sf b\\ \sf 1 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{a-b}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -b\\ \sf -1 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a-b}\begin{pmatrix} \sf a^2&\sf b^2\\ \sf a & \sf b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -b\\ \sf -1 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a-b}\begin{pmatrix} \sf a^2-b^2 &\sf -a^2b +ab^2 \\ \sf a-b & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf a+b &\sf -ab \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{2}}{y_{2}}=\begin{pmatrix} \sf a+b &\sf -ab \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{a+b}{1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\begin{pmatrix} \sf a+b &\sf -ab \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{x_n}{y_n}=\binom{\left(a+b\right)x_n-aby_n}{x_n}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_{n+1}=\left(a+b\right)x_n-aby_n\ \ ,\ \ y_{n+1}=x_n\end{align*}}$
　　これら2式より　y_nを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+1}=\left(a+b\right)x_n-abx_{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{ \begin{array}{ll}\sf x_{n+1}-ax_n=b\left(x_n-ax_{n-1}\right) \\ \sf x_{n+1}-bx_n=a\left(x_n-bx_{n-1}\right) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
　　　と変形できるので、数列{x_n+1－ax_n}、{x_n+1－bx_n}は
　　　ともに等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+1}-ax_n=b^{n-1}\left(x_2-ax_1\right)=b^n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+1}-bx_n=a^{n-1}\left(x_2-bx_1\right)=a^n\end{align*}}$
　　　となるので、これら2式を辺々引くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a-b\right)x_n=a^n-b^n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x_n=\frac{a^n-b^n}{a-b}\ \ ,\ \ y_n=\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}\ \ \ \ \left(\because\ a\ne b\right)\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　点P_n(x_n，y_n)が直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\ x\end{align*}}$ 上にあるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2a^{n-1}-2b^{n-1}=a^n-b^n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-2\right)a^{n-1}=\left(b-2\right)b^{n-1}\end{align*}}$ ．
　　　a＝0、b＝2のとき、この式はnの値によらず成立し、
　　　このとき行列Aの成分は、
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
　　　となる。





　　上から順番に計算してゆきましょう。