2015筑波大 数学5

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【解答】

　(１)
　　　加法定理より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\frac{1}{\sqrt2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin x+\cos x\right)\end{align*}}$
　　　なので、C₂とC₃の2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(\sin x+\cos x\right)=\sin x\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x=\cos x\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan x=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{4}\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\ \ \ ,\ \ y=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
　　　となるので、C₂とC₃の交点の座標は、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{1}{\sqrt2}\right)\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　C₁とC₃の交点のx座標が$\scriptsize\sf{\alpha}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)=\sin\alpha\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=3\sin\alpha\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\sin^2\alpha+\left(3\sin^2\alpha\right)^2=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2\alpha=\frac{1}{10}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}\ \ \left(>0\right)\ \ ,\ \ \cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　C₁とC₂の交点のx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin x+\cos x\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　これらより、C₁、C₂、C₃の位置関係は
　　　右図のようになる。



　　　よってこれらで囲まれる図形の面積をSとすると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi /4}g\ (x)\ dx-\int_0^{\alpha}f\ (x)\ dx-\int_{\alpha}^{\pi /4}h\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{\pi /4}\left(\sin x+\cos x\right)dx-\frac{1}{2}\int_0^{\alpha}\left(\cos x-\sin x\right)dx-\int_{\alpha}^{\pi /4}\sin x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg[-\cos x+\sin x\bigg]_0^{\pi /4}-\frac{1}{2}\bigg[\sin x+\cos x\bigg]_0^{\alpha}+\bigg[\cos x\bigg]_{\alpha}^{\pi /4}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}+1\right)-\frac{1}{2}\left(\sin\alpha+\cos\alpha-1\right)+\left(\frac{1}{\sqrt2}-\cos\alpha\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1+\frac{1}{\sqrt2}-\frac{5}{\sqrt{10}}\ }\end{align*}}$
　




　　これは難しくありません。