2015筑波大 数学2

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【解答】

　(１)
　　　内接円の中心をＩとおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle IAQ=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{\alpha}{2}\ \ ,\ \ \angle AQI=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{IQ}{AQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ AQ=\frac{IQ}{\tan\frac{\alpha}{2}}=\underline{\ \frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}}\ }\end{align*}}$
　　　同様に
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{\beta}{2}=\frac{IQ}{CQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ CQ=\underline{\ \frac{1}{\tan\frac{\beta}{2}}\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BC=2CP=2CQ=\frac{2}{\tan\frac{\beta}{2}}=\frac{2}{t}\end{align*}}$
　　　AP⊥BCより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=PC\ \tan\beta\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\tan\frac{\beta}{2}}\cdot\frac{2\tan\frac{\beta}{2}}{1-\tan^2\frac{\beta}{2}}\end{align*}}$　　←(１)と倍角公式
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{t}\cdot\frac{2t}{1-t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{1-t^2}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{t}\cdot\frac{2}{1-t^2}=\underline{\ \frac{2}{t\left(1-t^2\right)}\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\beta=\frac{\pi -\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\frac{\beta}{2}<\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
　　　 より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt t=\tan\frac{\beta}{2}<1\end{align*}}$ ．

　　　tの関数f(t)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (t)=t\left(1-t^2\right)=-t^3+t\ \ \ \left(0\lt t<1\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f '(t)=-3t^2+1\end{align*}}$
　　　となるので、f(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　これより、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt f\ (t)\leqq\frac{2}{3\sqrt3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{f (t)}\geqq \frac{2}{\frac{2}{3\sqrt3}}\ \ \Leftrightarrow\ \ S\geqq 3\sqrt3\end{align*}}$
　　　となるので、題意は示された。
　　　また、等号が成立するとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\frac{\beta}{2}=\frac{1}{\sqrt3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\beta}{2}=\frac{\pi}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\alpha=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　となるので、△ABCは正三角形である。





　　(３)は、0＜f(t) も必要です。